В программе TORA для решения игр двух игроков с нулевой суммой надо выбрать команду Zero-sum GamesOSolveLP-based (Игры с нулевой суммойРешитьКак задачу ЛП). На рис. 14.10 показан результат решения задачи примера 14.4.4 (файл ch 14ToraGamesEx 14-4-4).

TORA D:\Woik\TordFilei\cM4ToraGameifx14 4 4 Itf

DECISION ANALYSIS USING GAMES

Рис. 14.10. Решение программой TORA игры двух игроков с нулевой суммой из примера 14.4.4

УПРАЖНЕНИЯ 14.4.3

1. На загородном пикнике две команды, по два человека в каждой, играют в прятки. Есть четыре места, где можно спрятаться (А, Б, В и Г), и два члена прячущейся команды могут спрятаться каждый отдельно в любых двух из четырех мест. Затем другая команда имеет возможность проверить любые два места. Команда, которая ищет, получает премию, если будут обнаружены оба участника прячущейся команды, если же не обнаружен ни один участник, то она выплачивает премию. Иначе игра заканчивается вничью.

a) Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой.

b) Определите оптимальные стратегии и цену игры.

2. Университетские команды UA и DU определяют свои стратегии игры в национальном чемпионате по баскетболу для колледжей. Оценивая возможности своих запасных скамеек , каждый тренер разработал по четыре варианта замены игроков на протяжении игры. Способность каждой команды выполнять двух-, трехочковые и штрафные броски является основным фак-

Литература

тором, определяющим результат игры. Приведенная ниже таблица содержит очки чистого выигрыша команды UA на протяжении одного владения мячом в зависимости от стратегий, планируемых каждой командой.

a) Решите игру методами линейного программирования и определите выигрышные стратегии.

b) Исходя из имеющейся информации, какая из двух команд может выиграть чемпионат?

c) Пусть за всю игру имеется 60 возможностей владения мячом (30 владений для каждой команды). Предскажите ожидаемое количество очков, с которым будет выиграна игра чемпионата.

3. Армия полковника Блотто сражается с вражеской армией за контроль над двумя стратегически важными позициями. Полковник имеет в своем распоряжении два полка, а его противник - три. Каждый из противников может посылать на любую позицию только целое число полков или совсем не посылать. Позиция будет захвачена армией, которая атакует большим количеством полков. Иначе результат сражения является ничейным.

a) Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой и решите игру методами линейного программирования.

b) Какая армия выиграет сражение?

4. В игре двух лиц, именуемой двухпальцевой игрой Морра, каждый игрок показывает один или два пальца и одновременно отгадывает число пальцев, которые покажет его противник. Игрок, который угадал, выигрывает сумму, равную суммарному числу показанных противниками пальцев. Иначе игра заканчивается вничью. Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой и решите игру методами линейного программирования.

5. Покажите, что задача, двойственная к задаче линейного программирования для игрока А, является задачей линейного программирования для игрока В, и что следующие два утверждения не противоречат друг другу.

a) Задача линейного программирования для игрока А записана в форме, приведенной в разделе 14.4.2.

b) Задача линейного программирования для игрока А записана в форме, упомянутой в п. 1, в которой все ограничения вида < приведены к виду > .

ЛИТЕРАТУРА

1. Chen S. and Hwang С. Fuzzy Multiple Attribute Decision Making, Springer-Verlag, Berlin, 1992.

2. Clemen R. J. and Reilly T. Making Hard Decisions: An Introduction to Decision Analysis. 2nd ed., Duxbury, Pacific Grove, CA, 1996.

3. Dantzig G. В. Linear Programming and Extension, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1963. (Русский перевод: Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения. - М.: Прогресс, 1966.)

4. Meyerson R. Game Theory: Analysis of Conflict, Harvard University Press, Cam-ridge, Mass., 1991.

5. Saaty T. L. Fundamentals of Decision Making, RWS Publications, Pittsburg, 1994.

Литература, добавленная при переводе

1. Вилкас Э. Й., Майминас Е. 3. Решения: теория, информация, моделирование. - М.: Радио и связь, 1981.

2. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. - М.: Мир, 1964.

3. Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. - М.: Наука, 1979.

4. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. - М.: Мир, 1985.

5. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. - М.: Наука, 1978.

6. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

14.1. 5 Руководитель цеха рассматривает три возможных решения относительно существующего фрезерного станка.

1. Модифицировать имеющийся станок, установив на нем автоматическую подачу (АП).

2. Купить новый станок с программным управлением (ПУ).

3. Заменить станок обрабатывающим центром (ОЦ).

Три альтернативы оцениваются на основе двух критериев: денежный и функциональный. Следующая таблица содержит необходимые данные.

Критерий АП ПУ ОЦ Денежный

Начальная стоимость (долл.) 12 000 25 000 120 000

Стоимость обслуживания (долл.) 2 000 4 000 15 000

Стоимость обучения персонала (долл.) 3 000 8 000 20 000 Функциональный

Производительность (изделия/день) 8 14 40

Время наладки (минуты) 30 20 3

Металлические отходы (фунты/день) 440 165 44

Руководитель считает, что денежный критерий в полтора раза важнее функционального. Кроме того, производительность в два раза важнее времени наладки и в три раза важнее, чем количество получаемых металличе-

Этот пример взят из работы Weber S. A Modified Analytic Hierarchy Process for Automated Manufacturing Decisions , Interfaces, Vol.23, No. 4, 1993, pp. 75-84.