Как компании распределить восемь велосипедов между тремя спортивными центрами?

15.3. МАКСИМИЗАЦИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ

В разделе 15.2 рассматривалась задача, связанная с максимизацией ожидаемой прибыли. Иным полезным критерием для рассмотренной задачи является максимизация вероятности достижения определенного уровня дохода. Продемонстрируем этот подход на примере модели инвестирования, которая описана в разделе 15.2.

Используя обозначения из раздела 15.2, оставим без изменения определение этапа i, альтернативы yt и состояния хг Эти модели отличаются только определением критерия; здесь нашей целью является максимизация вероятности достижения некоторой накопленной денежной суммы S по истечении п лет. С этой точки зрения определим функцию ft(x) - вероятность накопления суммы S, если в начале i-го года имеются денежные средства в сумме х1 и для последующих лет i, i +

п используется оптимальное инвестирование.

Рекуррентное уравнение динамического программирования имеет вид

/Д*0 = £АЯ{х. S}J,

f,{x,)= max \ JT pJ,A (x, + /jy,) I, / = 1,21. Рекуррентная формула основана на формуле условной вероятности

Р{Л)=±Р{А\В1)Р{В1). В нашем случае /)+1(х, + гку) играет роль вероятности Р{А В}.

15.3. Максимизация вероятности достижения цели

Пример 15.3.1

Некий индивидуум планирует инвестировать 2 ООО долл. Имеющиеся варианты позволяют удвоить эту сумму с вероятностью 0,3 или потерять ее с вероятностью 0,7. Акции продаются в конце года, а в начале следующего года все деньги или их часть снова инвестируются. Этот процесс повторяется на протяжении трех лет. Целью является максимизация вероятности достижения суммы в 4 ООО долл. в конце третьего года.

В соответствии с обозначениями данной модели имеем г, = 1 с вероятностью 0,3 иг2 = -1 с вероятностью 0,7.

Этап 3. На этом этапе состояние х3 может изменяться от 0 до 8 000 долл. Минимальное значение возможно, когда все вложенные средства потеряны, а максимальное - когда инвестиция удваивается в конце каждого из двух первых лет. Следовательно, рекуррентное уравнение для этапа 3 записывается в следующем виде:

гдех3 = 0,1,8.

Приведенная ниже табл. 15.1 содержит детали вычислений для данного этапа.

Все заштрихованные ячейки таблицы являются неподходящими, так как не удовлетворяют условию уъ < х3. Кроме того, при выполнении вычислений можно заметить, что

Р{х3 + У3 2:4} = 0, если х3 + у3 < 4, Р{х3 - уз > 4} = 0, если х3 - у3 < 4. В противном случае эти вероятности равны 1.

Хотя приведенная таблица и свидетельствует о том, что существуют альтернативные оптимумы для х3 = 1, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, оптимальный (последний) столбец содержит лишь наименьшие оптимальные значения у3. Это объясняется тем, что инвестор не собирается инвестировать больше того, что необходимо для достижения поставленной цели.

{0,ЗР{х3+у3>4} + 0,7/>{лг3-у3>4}},

Этап 2.

{0,3/3(х2 + у2) + 0,7/3(х2-у2)}.

Соответствующие вычисления приведены в табл. 15.2

Этап 1.

В табл. 15.3 показаны вычисления для данного этапа.

Таблица 15.1