Литература

Таблица 15.3

Оптимальная стратегия определяется следующим образом. При заданной начальной сумме х, = 2000 долл. вычисления для первого этапа дают у, = 0. Это означает, что в первый год не следует делать инвестиций. Данное решение оставляет инвестора с 2000 долл. к началу второго года. Из таблицы, соответствующей второму этапу, при х2 = 2 получаем уг = 0; это снова означает, что на протяжении второго года также не следует делать инвестиций. Далее использование значения х3 = 2 на третьем этапе приводит к Уз = 2, а это означает, что на третий год следует инвестировать всю имеющуюся в распоряжении сумму. Соответствующая максимальная вероятность достижения цели 5=4 равна/,(2) = 0,3.

УПРАЖНЕНИЯ 15.3

1. В примере 15.3.1 этап 1 решения задачи показывает, что существует два альтернативных оптимума: у1 = 0 и у, = 2. Покажите, что применение стратегии у, = 2 (т.е. инвестировать все деньги в начале первого года) не изменяет результата инвестиционной политики на протяжении трех лет, а именно, соответствующая максимальная вероятность достижения цели сохраняется равной 0,3.

2. Решите задачу из примера 15.3.1, если целью инвестора является максимизация вероятности достижения по меньшей мере суммы в 6 000 долл. к концу третьего года. Инвестор имеет в своем распоряжении 1000 долл., и вероятность удвоения суммы на протяжении каждого года равна 0,6.

3. Вы и ваш друг хотите сыграть в казино в следующую игру. Вы делаете определенную ставку, и каждый из вас независимо подбрасывает симметричную монету. За каждый доллар суммы ставки казино заплатит три доллара (что дает чистую прибыль в 2 долл.), если в результате подбрасывания выпадут две решки. Иначе вы теряете сумму ставки. Если вы с другом имеете в сумме один доллар, определите стратегию игры, считая, что целью является максимизация вероятности окончания трех игр с суммой в 4 долл.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bertsekas D. Dynamic Programming: Deterministic and Stochastic Models, Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1987.

2. Cooper L. and Cooper M. Introduction to Dynamic Programming, Pergamon Press, New York, 1981.

3. Smith D. Dynamic Programming: A Practical Introduction, Ellis Horwood, London, 1991.

Литература, добавленная при переводе

1. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. - М.: Наука, 1965.

2. Романовский И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1977.

КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА

15.1. Компания использует грузовые автомобили для доставки заказов покупателям и планирует заменить свои автомобили на прРяжении последующих пяти лет. Годовые затраты, связанные с использованием нового грузовика, являются нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 300 долл. и среднеквадратическим отклонением 50 долл. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение годовых эксплуатационных затрат через год возрастают на 10 %. Стоимость нового грузового автомобиля в настоящее время равна 20 000 долл. и через год возрастет, как ожидается, на 12 %. Грузовые автомобили используются чрезвычайно интенсивно, поэтому существует вероятность того, что каждый из них может окончательно сломаться в любое время. Можно сдать старый автомобиль при покупке нового. При этом стоимость старого автомобиля зависит от того, находится ли он в рабочем состоянии. В начале шестого года автомобиль подлежит продаже по цене, которая также зависит от его состояния (аварийное или рабочее). Приведенная ниже таблица содержит данные, описывающие ситуацию в зависимости от возраста автомобиля.

Если автомобиль использовался 1 год и находится в рабочем состоянии, то его стоимость равна 70 % от начальной и за год уменьшается на 15 % . Если же он находится в аварийном состоянии, то соответствующие показатели уменьшаются в два раза. Стоимость автомобиля в виде испорченного имущества в начале шестого года составляет 200 долл., если он находится в рабочем состоянии, и 50 долл., если он аварийный. Разработайте оптимальную политику замены автомобилей.

ГЛАВА 16

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

В главе 11 изложены основы теории управления запасами в условиях определенности1. В этой главе рассматриваются вероятностные модели управления запасами, в которых значение спроса является случайной величиной с известным распределением вероятностей. Рассмотренные модели подразделяются на модели с непрерывным и на модели с периодическим контролем уровня запаса. При этом класс моделей с периодическим контролем включает как одноэтапные, так и многоэтапные модели.

16.1. МОДЕЛЬ С НЕПРЕРЫВНЫМ КОНТРОЛЕМ УРОВНЯ ЗАПАСА

В этом разделе рассмотрены две модели управления запасами: 1) обобщение детерминированной модели экономичного размера заказа (см. раздел 11.2.1) на вероятностный случай, в которой используется буферный запас, отвечающий за случайный спрос и 2) более точная вероятностная модель экономичного размера заказа, которая учитывает вероятностный характер спроса непосредственно в постановке задачи.

16.1.1. Рандомизированная модель экономичного размера заказа

Некоторые специалисты пытались адаптировать детерминированную модель экономичного размера заказа (см. раздел 11.2.1) для учета вероятностной природы спроса, используя при этом приближенный метод, который предполагает существование постоянного буферного запаса на протяжении всего планового периода. Размер резерва устанавливается таким образом, чтобы вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа (интервала между моментом размещения заказа и его поставкой) не превышала наперед заданной величины.

Введем следующие обозначения.

L - срок выполнения заказа, т.е. время от момента размещения заказа до его поставки,

хь - случайная величина, представляющая величину спроса на протяжении срока выполнения заказа,

fiL - средняя величина спроса на протяжении срока выполнения заказа,

1 Данная глава продолжает тему главы 11, посвященной детерминированным моделям управления запасами.