<7L - среднеквадратическое отклонение величины спроса на протяжении срока выполнения заказа,

В - размер резервного запаса,

а- максимально возможное значение вероятности истощения запаса на протяжении срока выполнения заказа.

Основным предположением при построении модели является то, что величина спроса хь на протяжении срока выполнения заказа L является нормально распределенной случайной величиной со средним fiL и стандартным отклонением aL, т.е. имеет распределение N(fiL,crL).

На рис. 16.1 показана зависимость между размером резервного запаса В и параметрами детерминированной модели экономичного размера заказа, которая включает срок выполнения заказа L, среднюю величину спроса ць на протяжении срока выполнения заказа и экономичный размер заказа у . Заметим, что L должно быть равно эффективному времени выполнения заказа, как это определено в разделе 11.2.1.

Уровень I запаса

В + у

В + V

Время

Рис. 16.1. Резервный запас в детерминированной модели экономичного размера заказа

Вероятностное условие, которое определяет размер резервного запаса В, имеет вид

P/xL>B + \xj <а. По определению (см. раздел 12.4.4) случайная величина

является стандартной нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распределение ЛГ(0, 1). Следовательно,

P\z>

На рис. 16.2 показана величина Ка, которая определяется из таблицы стандартного нормального распределения (см. приложение В), так что

P/z >KJ = a.

Следовательно, размер резервного запаса должен удовлетворять неравенству

В>о-о.

N(0, 1)

Площадь = о

Рис. 16.2. Определение вероятности P/z >Ка/ - а

Величина спроса на протяжении срока выполнения заказа L обычно описывается плотностью распределения вероятностей, отнесенной к единице времени (например, к дню или неделе), из которой можно найти распределение спроса на протяжении периода L. В частности, если спрос за единицу времени является нормально распределенной случайной величиной со средним D и стандартным отклонением о, то общий спрос на протяжении срока выполнения заказа L будет иметь распределение N(jjl, aL), где /j, = DL и о, = -Vg2/.. Формула для aL получена на основании того, что значение L является целым числом (или же округлено до целого числа).

Пример 16.1.1

В примере 11.2.1, где речь шла об управлении запасом неоновых ламп в университетском городке, был определен экономичный размер заказа в 1000 ламп. Требуется определить размер резервного запаса таким образом, чтобы вероятность истощения запаса не превышала а = 0,05 при условии, что дневной спрос является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием D=100 ламп и среднеквадратическим отклонением о= 10 ламп, т.е. имеет распределение N( 100, 10).

Как следует из примера 11.2.1, эффективное время выполнения заказа L равно 2 дня. Следовательно,

Из таблицы стандартного нормального распределения (приложение В) определяем 0,05 = 1,645. Следовательно, размер резервного запаса вычисляется следующим образом.

При экономичном размере заказа у* = 1000 единиц оптимальная политика управления запасами с объемом резерва В состоит в заказе 1000 ламп, как только объем запаса уменьшается до 223 единиц (= В + juL = 23 + 2 х 100).

щ = DL = 100 х 2 = 200 единиц,

единиц.

В > 14,14 х 1,645 = 23 лампы.

УПРАЖНЕНИЯ 16.1.1

1. В примере 16.1.1 определите оптимальное управление запасами для каждого из следующих случаев.

a) Время выполнения заказа равно 15 дней.

b) Время выполнения заказа равно 23 дня.

c) Время выполнения заказа равно 8 дней.

d) Время выполнения заказа равно 10 дней.

2. Музыкальный магазин продает популярный компакт-диск. Распределение дневного спроса на диск можно аппроксимировать нормальным распределением с математическим ожиданием 200 дисков и стандартным отклонением 20 дисков. Стоимость хранения диска в магазине составляет 0,04 долл. за один день. Размещение нового заказа обходится магазину в 100 долл. Поставщик обычно устанавливает семидневный срок для выполнения заказа. Предположим, что магазин хочет ограничить вероятность истощения запаса дисков на протяжении срока выполнения заказа величиной, не превышающей 0,02. Определите оптимальное управление запасами для магазина.

3. Дневной спрос на фотопленку в подарочном магазине курортной зоны является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 30 пленок и стандартным отклонением 5 пленок. Стоимость хранения катушки с пленкой в магазине составляет 0,02 долл. Размещение нового заказа на фотопленку каждый раз обходится магазину в 30 долл. Стратегия магазина по управлению запасами состоит в размещении заказа на 150 фотопленок, как только уровень запаса опускается до 80 единиц, тем самым поддерживается одновременно постоянный резерв в 20 фотопленок.

a) Для указанной стратегии магазина по управлению запасами определите вероятность истощения запаса на протяжении срока выполнения заказа.

b) Разработайте рекомендации для магазина относительно стратегии по управлению запасами, предполагая, что вероятность истощения запаса пленок на протяжении срока выполнения заказа не превышает 0,10.

16.1.2. Стохастический вариант модели экономичного размера заказа

Нет оснований полагать, что рандомизированная модель экономичного размера заказа, рассмотренная в разделе 16.1.1, определит оптимальную политику управления запасами. Подтверждением этого является то, что существенная информация, имеющая отношение к вероятностной природе спроса, при этом подходе первоначально не учитывается, а используется лишь независимо на последнем этапе вычислений. Чтобы исправить такую нездоровую ситуацию, в этом разделе рассматривается более точная модель, в которой вероятностная природа спроса учитывается непосредственно в постановке задачи.

В отличие от ситуации, рассмотренной в разделе 16.1.1, в новой модели допускается неудовлетворенный спрос, как это показано на рис. 16.3. В рассматриваемой модели заказ размером у размещается тогда, когда объем запаса достигает уровня R. Как и в детерминированном варианте, уровень R, при котором снова размещается заказ, является функцией периода времени между размещением заказа и его выполнением. Оптимальные значения у и R определяются путем минимизации ожидаемых затрат системы управления запасами, отнесенных к единице времени, которые включают как расходы на размещение заказа и его хранение, так и потери, связанные с неудовлетворенным спросом.