Время выполнения -заказа-

! Время выполнения (ч-заказа- >

Цикл 1-

Цикл2

Рис. 16.3. Стохастическая модель экономичного размера заказа

В рассматриваемой модели приняты три условия.

1. Неудовлетворенный в течение срока выполнения заказа спрос накапливается.

2. Разрешается не более одного невыполненного заказа.

3. Распределение спроса в течение срока выполнения заказа является стационарным (неизменным) во времени.

Для определения функции, отражающей суммарные затраты, отнесенные к единице времени, введем следующие обозначения.

f(x) - плотность распределения спроса х в течение срока выполнения заказа, D - ожидаемое значение спроса в единицу времени,

h - удельные затраты на хранение (на единицу продукции за единицу времени),

р - удельные потери от неудовлетворенного спроса (на единицу продукции за единицу времени),

К - стоимость размещения заказа.

Основываясь на этих определениях, вычислим компоненты функции затрат.

1. Стоимость размещения заказов. Приближенное число заказов в единицу времени равно D/y, так что стоимость размещения заказов в единицу времени равна KD/y.

2. Ожидаемые затраты на хранение. Средний уровень запаса равен

Следовательно, ожидаемые затраты на хранение за единицу времени равны hi.

Приведенная формула получена в результате усреднения ожидаемых запасов в начале и конце временного цикла, т.е. величин y + M{R-x) и M{R-x} соответственно. При этом игнорируется случай, когда величина R -М{х) может быть отрицательной, что является одним из упрощающих допущений рассматриваемой модели.

(y + M{R-x}) + M{R-x] = у 2 ~ 2

= ± + R-M{x}.

3. Ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным спросом. Дефицит возникает при х > R. Следовательно, ожидаемый дефицит за единицу времени равен

S = ](x-R)f{x)dx.

Так как в модели предполагается, что р пропорционально лишь объему дефицита, ожидаемые потери, связанные с неудовлетворенным спросом, за один цикл равны pS. Поскольку единица времени содержит D/y циклов, то ожидаемые потери, обусловленные дефицитом, составляютpDS/y за единицу времени.

Результирующая функция общих потерь за единицу времени TCU имеет следующий вид.

TCU(y, R)=y- + h + R-M[x{j +- j(x-R)f(x)ax.

Оптимальные значения у* и R* определяются из представленных ниже уравнений.

3TCU (DK) h PD - -{~}+2--S-°

-*-(f)Iw*-ft

Следовательно, имеем

2D(K + pS)

Так как из уравнений (1) и (2) у* и R нельзя определить в явном виде, для их поиска используется численный алгоритм, предложенный Хедли и Уайтин (Hadley, Whitin) [1]. Доказано, что алгоритм сходится за конечное число итераций при условии, что допустимое решение существует.

При R = О последние два уравнения соответственно дают следующее.

\2Р{К + рМ{х})

Если у > у , тогда существуют единственные оптимальные значения для у и R. Вычислительная процедура определяет, что наименьшим значением у является \J2KDIh , которое достигается при S = 0.

Алгоритм состоит из следующих шагов.

ШагО. Принимаем начальное решение у, = у = 2KD/h и считаем R0 = 0.

Полагаем i = 1 и переходим к шагу i.

Шаг i. Используем значение у. для определения Д, из уравнения (2). Если Rl = R., вычисления заканчиваются; оптимальным решением считаем у = у, и R = R,. Иначе подставляем значение Д, в уравнение (1) для вычисления уг Полагаем i = i + 1 и повторяем шаг i.

Пример 16.1.2

Электротехническая компания использует в производственном процессе канифоль в количестве 1000 галлонов в месяц. Размещение заказа на новую поставку канифоли обходится фирме в 100 долл. Стоимость хранения одного галлона канифоли на протяжении одного месяца равна 2 долл., а удельные потери от ее дефицита - 10 долл. за один галлон. Статистические данные свидетельствуют о том, что спрос в период поставки является случайной величиной, равномерно распределенной от 0 до 100 галлонов. Надо определить оптимальную политику управления запасами для компании.

Используя принятые в модели обозначения, имеем следующее.

D = 1000 галлонов в месяц,

К = 100 долл. за размещение заказа,

/( = 2 долл. за один галлон в месяц,

р = 10 долл. за один галлон,

Дх)= 1/100, 0<х< 100,

М{х) = 50 галлонов.

Сначала необходимо проверить, существует ли допустимое решение задачи. Используя уравнения для у и у , получаем следующее.

галлонов,

10x1000

= 5000 галлонов.

> =

Так как у > у , значит, существует единственное решение для у* и R . Выражение для 5 записывается в следующем виде:

Используя в уравнениях (1) и (2) выражение для 5, получаем следующее.

галлонов,

Из последнего уравнения имеем

Л, = 100--. 50

Теперь используем уравнения (3) и (4), чтобы найти решение.

Итерация 1.

Л, =100-

316.23 50

= 93,68 галлонов.