Итерация 2.

Следовательно,

5 = -!-R, +50 = 0,19971 галлонов. 200

уг = Vl00000 +10000 х0,19971=319,37 галлонов.

319 37

Л, =100---- = 93,612 галлонов.

2 50

Итерация 3.

S = -- Л, + 50 = 0,20399 галлонов. 200

у, = 100000 +10000 х 0,20399 =319,44 галлонов.

Следовательно,

319 44

Л, =100---- = 93,611 галлонов.

3 50

Поскольку значения R2 и R3 примерно одинаковы, приближенное оптимальное решение определяется значениями Л* ж 93,61 галлонов, 319,4 галлонов. Следовательно, оптимальное управление запасами состоит в размещении заказа примерно на 320 галлонов, как только запас уменьшается до 94 галлонов.

На рис. 16.4 показаны эти же вычисления, выполненные в шаблоне Excel chl6ContinuousReviwModel.xls. Здесь задана высокая точность вычислений 0,000001 (в ячейке С8) только для того, чтобы продемонстрировать скорость сходимости алгоритма. На практике такая высокая точность не требуется. Шаблон рассчитан только на равномерное распределение спроса.

Рис. 16.4. Реализация в Excel вычислений примера 16.1.2

УПРАЖНЕНИЯ 16.1.2

1. Для данных, приведенных в примере 16.1.2, определите следующее.

a) Приближенное число заказов в месяц.

b) Ожидаемое значение месячной стоимости размещения заказов.

c) Ожидаемое значение месячных затрат на хранение.

d) Ожидаемое значение месячных затрат, связанных с дефицитом.

e) Вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа.

2. Решите задачу из примера 16.1.2, учитывая, что спрос в период выполнения заказа является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0, 50] (галлонов).

3. В задаче из примера 16.1.2 предположите, что спрос в период поставки является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [40, 60] (галлонов). Сравните решение, полученное при этих условиях, с решением, полученным в примере 16.1.2, и интерпретируйте результаты. (Подсказка. В обеих задачах величина М{х) одинакова, но дисперсия в этой задаче меньше.)

4. Найдите оптимальное решение задачи из примера 16.1.2, если спрос в период поставки является нормально распределенной случайной величиной со средним 100 галлонов и стандартным отклонением 2 галлона. Предположите также, что D = 10000 галлонов в месяц, Л = 2 долл. за галлон в месяц, р = 4 долл. за галлон и К = 20 долл.

16.2. ОДНОЭТАПНЫЕ МОДЕЛИ

Одноэтапные модели управления запасами отражают ситуацию, когда для удовлетворения спроса в течение определенного периода продукция заказывается только один раз. Например, модный сезонный товар устаревает к концу сезона, и, следовательно, заказы на него могут не возобновляться. В данном разделе рассматривается два типа таких моделей: с учетом и без учета затрат на оформление заказов.

При изложении данного материала используются следующие обозначения.

с - стоимость закупки (или производства) единицы продукции,

К - стоимость размещения заказа,

h - удельные затраты на хранение единицы продукции в течение рассматриваемого периода,

р - удельные потери от неудовлетворенного спроса (на единицу продукции за рассматриваемый период),

D - величина случайного спроса за рассматриваемый период,

f(D) - плотность вероятности спроса за рассматриваемый период,

у - объем заказа,

х - наличный запас продукта перед размещением заказа.

Модель определяет оптимальный объем заказа у, который минимизирует суммарные ожидаемые затраты, связанные с закупкой (или производством), хранением и неудовлетворенным спросом. При известном оптимальном значении у (обозначается у) оптимальное управление запасами состоит в размещении заказа объемом у - х, если х < у; в противном случае заказ не размещается.

16.2.1. Модель при отсутствии затрат на оформление заказа

В этой модели принято следующее.

1. Спрос удовлетворяется мгновенно в начале периода непосредственно после получения заказа.

2. Затраты на размещение заказа отсутствуют.

На рис. 16.5 иллюстрируется состояние запаса после удовлетворения спроса D. Если D <у, запас у-D хранится на протяжении периода. Если жеD> у, возникает дефицит объема D - у.

У ♦

D<y

±

D>y

-Время

Рис. 16.5. Состояние запаса в одноэтапной модели Ожидаемые затраты М{С(у)} на период выражаются следующей формулой.

М {С(у)} = с(у - х) + h )(у - D)f(D)dD + p](D - y)f{D)dD.

Можно показать, что функция М{С(у)} является выпуклой по у и, таким образом, имеет единственный минимум. Следовательно, вычисляя первую производную функции М{С(у)} по у и приравнивая ее к нулю, получим

c + h)f{D)dD-p]f(D)dD = 0

с + hP{D <у}+ р(1 - P{D < у}) = 0.

Отсюда имеем

P{D<y} =

Р-С p + h

Правая часть последней формулы известна как критическое отношение. Значение у определено только при условии, что критическое отношение неотрицательно, т.е. р>с. Ситуация, когда р <с, является бессмысленной, так как это предполагает, что стоимость закупки единицы продукции выше потери от неудовлетворенного спроса.

Ранее предполагалось, что спрос D является непрерывной случайной величиной. Если же D является дискретной величиной, то плотность распределения вероятностей /(£>) определена лишь в дискретных точках и функция затрат вычисляется в соответствии с формулой

M{C{y)} = c(y-x) + h(y~D)f(D) + p J (D-y)f(D).

Необходимыми условиями оптимальности служат неравенства М{С(у - 1)} > М{С(уу) и М{С(у + 1)} > М{С(у)}.