1.2. РЕШЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ1

В исследовании операций нет единого общего метода решения всех математических моделей, которые встречаются на практике. Вместо этого выбор метода решения диктуют тип и сложность исследуемой математической модели. Например, в разделе 1.1 для решения задачи о билетах необходимо просто ранжировать альтернативы по стоимости билетов, тогда как для решения задачи о максимальной площади прямоугольника необходимо применять средства дифференциального исчисления.

Наиболее известными и эффективными методами ИО являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения являются линейными функциями. Для решения математических моделей других типов предназначены методы целочисленного программирования (если все переменные должны принимать только целочисленные значения), динамического программирования (где исходную задачу можно разбить на меньшие подзадачи) и нелинейного программирования (когда целевая функция и/или ограничения являются нелинейными функциями). Перечисленные методы составляют только часть из большого количества самых разнообразных доступных методов исследования операций.

Практически все методы ИО не позволяют получить решение в замкнутой (в виде формул) форме. Напротив, они порождают вычислительные алгоритмы, которые являются итерационными по своей природе. Это означает, что задача решается последовательно (итерационно), когда на каждом шаге (итерации) получаем решения, постепенно сходящиеся к оптимальному. Итерационная природа алгоритмов обычно приводит к объемным однотипным вычислениям. В этом и заключается причина того, что эти алгоритмы разрабатываются, в основном, для реализации с помощью вычислительной техники.

Некоторые математические модели могут быть такими сложными, что их невозможно решить никакими доступными методами оптимизации. В этом случае остается только эвристический подход: поиск подходящего хорошего решения вместо оптимального. Эвристический подход предполагает наличие эмпирических правил, в соответствии с которыми ведется поиск подходящего решения.

1.3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Несмотря на впечатляющие достижения математического моделирования, многие реальные ситуации невозможно адекватно представить с помощью соответствующих математических моделей. Часто в этом виновата определенная жесткость математики как языка описания и представления событий и явлений. Но даже если существует возможность формализовать рассматриваемую жизненную ситуацию посредством построения математической модели, полученная на ее основе задача оптимизации может быть слишком сложной для современных алгоритмов решения задач этого класса.

Альтернативой математическому моделированию сложных систем может служить имитационное моделирование. Различие между математической и имитацион-

1 Когда говорят о решении моделей , то подразумевается решение задачи, формализованной в виде модели . В англоязычной научной литературе общепринята такая подмена . Если полистать книги по этой тематике, изданные в последнее время в России, то можно заметить, что подобные выражения приживаются и в русском научном обиходе. Поэтому мы оставили более короткое (и более емкое) выражение решение моделей без перевода в корректную, но более длинную (и более размытую в понятийном плане) литературную форму. - Прим. ред.

1.4. Искусство моделирования

ной моделями заключается в том, что в последней отношение между входом и выходом может быть явно не задано. Вместо явного математического описания взаимоотношения между входными и выходными переменными математической модели, при имитационном моделировании реальная система разбивается на ряд достаточно малых (в функциональном отношении) элементов или модулей. Затем поведение исходной системы имитируется как поведение совокупности этих элементов, определенным образом связанных (путем установки соответствующих взаимосвязей) в единое целое. Вычислительная реализация такой модели начинается с входного элемента, далее проходит по всем элементам, пока не будет достигнут выходной элемент.

Имитационные модели значительно гибче в представлении реальных систем, чем их математические конкуренты . Причина такой гибкости заключается в том, что при имитационном моделировании исходная система рассматривается на элементарном уровне, а математические модели стремятся описать системы на глобальном уровне.

За гибкость имитационных моделей приходится платить высокими требованиями к потребляемым временным и вычислительным ресурсам. Поэтому реализация некоторых имитационных моделей даже на современных быстрых и высокопроизводительных компьютерах может быть очень медленной.

1.4. ИСКУССТВО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Иллюстративные модели из раздела 1.1 точно отображают реальные ситуации (в том смысле, что здесь модели не являются абстрактными приближениями жизненных реалий). Но это исключение в практике исследования операций - подавляющее большинство моделей ИО в той или иной степени являются абстракциями реальной жизни. На рис. 1.1 показаны уровни абстракции, которые характеризуют разработку моделей ИО. Предположения о реальном мире абстрагируются от реального мира путем определения основных (доминантных) переменных, описывающих поведение реальных систем. Модель, являясь абстракцией предположений о реальном мире, на языке математических функций описывает поведение не реальных систем, а предположений о их поведении.

Реальный мир

Предположения о реальном мире

Рис. 1.1. Уровни абстракций при построении моделей

Чтобы показать уровни абстракции в процессе моделирования, рассмотрим пример компании Tyko Manufacturing, производящей пластиковую упаковку. Когда заказ поступает в производственный отдел, необходимое для его выполнения сырье поступает со складов компании или закупается на стороне. Когда партия продукции готова, отдел сбыта берет на себя заботу о распределении и отправке готовой продукции заказчикам.

Анализ ИО деятельности компании должен дать ответ на вопрос о том, каким должен быть оптимальный объем партии изготовляемой продукции. Как можно представить описываемую ситуацию в виде модели?

Эту задачу следует рассматривать в целом как систему, где количество и типы переменных и параметров, описывающих эту систему, будут зависеть от того, со стороны какого подразделения компании мы смотрим на эту ситуацию.

1. Производственный отдел: возможности производства описываются в терминах доступных мощностей и трудовых ресурсов, наличия необходимого оборудования (или его стоимости, если оно отсутствует и его необходимо закупить), принятых стандартов качества и т.п.

2. Подготовительный цех (отвечает за сырье для производства): здесь переменными и параметрами, описывающими систему, будут доступное количество сырья на складе, сроки поставки новых партий сырья от поставщиков, емкость складских помещений и т.д. Если необходима предварительная обработка сырья, то добавляются новые переменные.

3. Отдел сбыта: с точки зрения этого подразделения система описывается прогнозируемыми объемами продаж готовой продукции, емкостью дистрибьюторской сети, эффективностью рекламной кампании, наличием конкурентов.

Каждая из приведенных переменных представляет производство компании Туко на своем уровне. И, конечно, определение четких функциональных зависимостей между этими переменными является весьма нетривиальной задачей.

Первый уровень абстракции требует определения границ для предположений о реальном мире (см. рис. 1.1). После некоторых размышлений приходим к выводу, что реальную систему приближенно можно представить двумя основными переменными: производительность и удельные издержки производства. Производительность включает такие показатели, как объем производственных мощностей, стандарты качества и доступное количество сырья. Удельные издержки зависят в основном от показателей, определяемых отделом сбыта. Существенным здесь является то, что упрощение реального мира происходит путем сваливания в одну кучу различных показателей, в результате чего появляются относительно простые переменные (показатели) предположений о реальном мире.

Теперь относительно просто на основе предположений о реальном мире построить модель, что будет следующим уровнем абстракции. Через производительность и удельные затраты можно выразить стоимостные и объемные показатели производства конкретной продукции. Абстрактную математическую модель можно построить на основе баланса стоимостных и/или объемных показателей таким образом, чтобы минимизировать, например, себестоимость производства.

1.5. БОЛЬШЕ, ЧЕМ ПРОСТО МАТЕМАТИКА

Поскольку модели ИО имеют математическую природу, существует мнение, что исследование операций является исключительно математической дисциплиной. Хотя математические методы действительно являются краеугольным камнем ИО, эта дисциплина не замыкается только на математических моделях (но отметим, что они действительно необходимы, поскольку облегчают и упрощают анализ реальных жизненных ситуаций). Математический аспект исследований операций должен рассматриваться в широком контексте всего процесса принятия решений. Поскольку человеческий фактор присутствует во всех задачах принятия решений, во многих случаях привлечение психологов дает ключ к решению задач. В качестве иллюстрации этого положения рассмотрим три примера.