F(x) = ma.x[-c(y-x)+ § rD-h(y-D)]f(D)dD +

у Л О

+ \ry + ar{D-y)-p(D~y)]f(D)dD +

+ aJF(y-D)f(D)dD},

где х и у представляют собой уровни запаса на каждом этапе до и после получения заказа соответственно.

Оптимальное значение у можно определить из приведенного ниже необходимого условия, которое в данном случае есть также достаточным, так как функция ожидаемой прибыли F(x) является вогнутой.

= -c-h)f{D)dD + \{l-a)r+ P]f{D)dD + afF~Df(D)dD = 0.

Эу о V о ду

ZF(y-D)

Величина ---- определяется следующим образом. Если на начало следующего

этапа уровень запаса еще составляет /?(>0) единиц, то прибыль на этом этапе возрастает на величину cj3, так как объем последующего заказа уменьшается именно на эту величину. Это означает, что

dF(y-D)

Следовательно, необходимое условие принимает вид

у ( V \

-c-hjf(D)dD + [(l-a)r+p] \-\f{D)dD +oxjf{D)dD = 0.

о V о у о

Поэтому оптимальный уровень заказа у* определяется из уравнения

р + {\-а)(г-с)

\f{D)dD-.

p + h + (\-a)r

Оптимальная стратегия каждого этапа при заданном исходном запасе х выражается следующим правилом.

Если х < у*, делать заказ объемом у - х, если х>у, заказа не делать.

УПРАЖНЕНИЯ 16.3

1. Рассмотрим двухэтапную вероятностную модель управления запасами, в которой спрос накапливается, а заказы поступают с нулевым запаздыванием. Спрос в каждый период описывается постоянной плотностью вероятности на интервале от 0 до 10. Стоимостные параметры модели таковы: цена продажи единицы продукции - 2 долл., цена покупки единицы продукции - 1 долл., стоимость хранения единицы продукции - 0,10 долл., штраф за дефицит единицы продукции - 3 долл., коэффициент дисконтирования - 0,8.

Определите оптимальную стратегию для двух этапов, предполагая, что начальный запас для первого периода равен нулю.

2. Плотность распределения величины спроса для каждого этапа в модели управления запасами при бесконечном горизонте планирования имеет вид f(D) = 0,08Д О < D < 5. Стоимостные параметры, отнесенные к единице продукции, таковы:

цена продажи - 10 долл.,

цена покупки - 8 долл.,

штраф за дефицит - 1 долл.,

коэффициент дисконтирования - 0,9.

Определите оптимальную стратегию управления запасами, предположив, что заказы выполняются с нулевым запаздыванием и неудовлетворенный спрос накапливается.

3. Дана модель управления запасами при бесконечном горизонте планирования, в которой заказы выполняются с нулевым запаздыванием, а неудовлетворенный спрос накапливается. Определите оптимальную стратегию управления запасами, основанную на минимизации ожидаемых затрат, если

затраты на хранение г единиц продукции - hz\

штраф за дефицит z единиц продукции - рг2.

Покажите, что в частном случае, когда h= р, оптимальное решение не зависит от конкретного вида вероятностного распределения спроса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hadley G. and Whitin Т., Analysis of Inventory Systems, Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1963. (Русский перевод: Хедли Дж., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами. - М.: Наука, 1969.)

2. Silver Е. and Peterson R. Decision Systems for Inventory Management and Production Planning, 2nd ed., Wiley, New York, 1985.

3. Tersine R. Principles of Inventory and Materials Management, North Holland, New York, 1982.

Литература, добавленная при переводе

1. Кофман А. Методы и модели исследования операций. - М.:Мир, 1966.

2. Мур Дж., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. - М.: Издательский дом Вильяме , 2004.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

16.1. 2 Телефонная компания управляет телефонными центрами, которые предоставляют услуги клиентам по месту жительства в своих регионах. Существует более 60 моделей телефонных аппаратов, которые предлагаются

Этот пример взят из работы Cohen R. and Dunford F. Forecasting for Inventory Control: An Example of When Simple Means Better , Interfaces, Vol. 16, No. 6, pp. 95-99, 1986.

Комплексные задачи

клиентам. В настоящее время каждый телефонный центр содержит запас телефонных аппаратов, рассчитанный на срок от 15 до 75 дней. Управляющий считает такие уровни запаса чрезмерными, так как они ежедневно пополняются из центрального товарного склада. В то же время управляющий должен гарантировать, что в телефонных центрах поддерживается уровень запаса, достаточный для обеспечения обслуживания клиентов на уровне 95 %. Изучающий проблему коллектив специалистов начал свою работу со сбора соответствующих данных. Задача этого коллектива - определить оптимальный уровень запаса для каждой модели телефонного аппарата. Следующая таблица содержит количество установленных за день настольных телефонных аппаратов зеленого цвета с вращающимся наборным диском.

Аналогичные таблицы были построены для всех моделей телефонных аппаратов.

Стоимостные параметры, необходимые для определения оптимального уровня запаса каждой модели телефонного аппарата, трудно поддаются оценке, и, следовательно, применение традиционных моделей управления запасами невозможно. Поэтому исследовательский коллектив решил использовать более основательный подход к определению соответствующего уровня запаса для различных моделей телефонных аппаратов. В результате исследования был сделан вывод, что как регрессионный анализ, так и анализ временных рядов не смогли обнаружить заметных тенденций спроса.

Предложите метод определения соответствующих уровней запаса для различных моделей телефонных аппаратов. Сформулируйте все предположения, необходимые для получения решения.

16.3. 3 Менеджер по снабжению небольших магазинов розничной торговли раз- мещает заказы на продукцию, чтобы получить выгоду за счет специальных цен или объединения заказов, полученных от одного поставщика. В результате как объем заказа, так и продолжительность цикла (период между последовательными заказами) являются случайными. Более того, поскольку стратегия менеджера, в основном, определяется не соображениями управления запасами, объем заказа и продолжительность цикла могут рассматриваться независимо в том смысле, что из меньшей длительности циклов не следует (с необходимостью) меньший объем заказов и наоборот.

Приведенная ниже таблица содержит типичные данные для трех наименований продукции, которые были заказаны одновременно. Эти данные показывают, что как объем заказа, так и продолжительность цикла являются случайными величинами. Более того, даже беглый анализ данных таблицы обнаруживает отсутствие корреляции между объемом заказа и продолжительностью цикла.

Этот пример взят из работы Holt A. Multi-Item Inventory Control for Fluctuating Reorder Intervals , Interfaces, Vol. 16, No. 3, pp. 60-67, 1986.