с) Режущими инструментами различные станки обеспечиваются из центрального инструментального склада. При выходе станка из строя вызывается механик из централизованной службы ремонта. Станки, выполняющие срочные заказы, всегда имеют преимущество как при получении нового инструмента со склада, так и при выполнении ремонтных работ.

4. Истинны или ложны следующие утверждения?

a) Если у ожидающего обслуживания клиента не хватает терпения, то он может отказаться от дальнейшего пребывания в системе обслуживания.

b) Если продолжительное время ожидания неприемлемо, поступивший клиент может отказаться от обслуживания.

c) Переход клиента из одной очереди в другую объясняется тем, что он надеется за счет этого сократить время ожидания.

5. В каждой ситуации, описанной в упражнении 1, обсудите возможности клиентов , осуществляющих переход из очереди в очередь и отказывающихся от обслуживания по причине длительности ожидания, а также от дальнейшего пребывания в обслуживающей системе из-за медленного обслуживания.

17.3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В большинстве систем массового обслуживания поступление клиентов происходит случайным образом. Это означает, что наступление события (например, поступление клиента или завершение обслуживания) не зависит от времени, прошедшего с момента наступления предыдущего события.

Время между последовательными поступлениями клиентов и время их обслуживания, будучи случайными, при моделировании систем массового обслуживания количественно описываются экспоненциальным распределением, плотность вероятности которого имеет вид

/(О = Ае~*, t > О,

где M{i) = 1/Я (подробнее см. раздел 12.4.3). То, что экспоненциальное распределение является совершенно случайным, иллюстрируется следующим примером. Если сейчас 8:20 и некое событие имело место в 8:02, то в соответствии с экспоненциальным законом распределения вероятность того, что следующее аналогичное событие произойдет в 8:29, является функцией лишь интервала времени от 8:20 до 8:29 и не зависит от интервала времени, прошедшего с момента наступления последнего события (от 8:02 до 8:20). Данное свойство экспоненциального распределения обычно называют отсутствием последействия или отсутствием памяти.

Пусть время t наступления какого-либо события распределено по экспоненциальному закону с функцией плотности f(t). Если S - время, прошедшее с момента наступления предыдущего события, то свойство отсутствия последействия выражается соотношением

P{t>T + S\t>S)=P{t>T). Для доказательства этого равенства заметим, что

P{t >Y} = l-P{t<Y} = e-*x.

Следовательно,

P{t>T + S\t>S} =

P{t>T + S,t>S} P{t>T + S} P{t>S} P{t>s}

Пример 17.3.1

При обслуживании сложного агрегата всегда существует запасной блок для немедленной замены в случае поломки. Время выхода из строя агрегата (или его запасного блока) является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону, и в среднем происходит каждые 40 минут. Оператор, обслуживающий агрегат, утверждает, что агрегат имеет привычку выходить из строя каждый вечер около 20:30. Проанализируем утверждение оператора.

Средняя интенсивность отказов агрегата равна Я= 60/40 = 1,5 отказа в час. Следовательно, плотность экспоненциального распределения времени отказа имеет вид

Что касается заявления оператора, то и без вычислений видно, что оно не может соответствовать действительности, так как не согласуется с тем, что время между отказами агрегата распределено по экспоненциальному закону и, следовательно, является случайным. Для подтверждения или опровержения заявления оператора нельзя использовать вероятность того, что отказ будет происходить в 20:30, так как вероятность такого события зависит от времени дня (относительно 20:30), когда зта вероятность вычисляется. Например, если вычисления выполняются в 20:20, то вероятность того, что утверждение оператора окажется справедливым этим вечером, равна

т.е. является очень малой. Если вычисления выполняются в 19:00, то вероятность того, что отказ будет иметь место в 20:30, возрастает примерно до 0,9 (проверьте!). Эти два крайних значения вероятности показывают, что достоверность утверждения оператора нельзя проанализировать на основе полученных вероятностей; в данной ситуации мы должны полагаться только на характеристики экспоненциального распределения (точнее, на его свойство отсутствия последействия).

1. Объясните связь между интенсивностью поступления заявок на обслуживание Я и средним временем между последовательными их поступлениями. В каких единицах измеряется каждая из этих величин?

2. В каждом из следующих случаев определите среднюю интенсивность (в час) поступлений заявок на обслуживание к и среднее время между их последовательными поступлениями.

a) Каждые 10 минут происходит одно поступление.

b) Каждые 6 минут происходит два поступления.

c) Число поступлений за 30 минут равно 10.

d) Средний интервал между последовательными поступлениями равен 0,5 часа.

УПРАЖНЕНИЯ 17.3

3. В каждом из следующих случаев определите среднюю (в час) интенсивность обслуживания и среднее время обслуживания.

a) Каждые 12 минут выполняется одно обслуживание.

b) Каждые 15 минут две обслуженные заявки покидают систему.

c) Число обслуженных клиентов за 30 минут равно 5.

d) Среднее время обслуживания равно 0,3 часа.

4. В примере 17.3.1 определите следующие показатели.

a) Среднее число отказов за неделю, если система обслуживания функционирует 7 дней в неделю по 24 часа в день.

b) Вероятность по крайней мере одного отказа за два часа.

c) Вероятность того, что следующий отказ не произойдет на протяжении трех часов.

d) Если после последнего отказа на протяжении трех часов других отказов не было, то какова вероятность того, что время между последовательными отказами системы равно по крайней мере 4 часа?

5. Время между последовательными поступлениями клиентов в Управление департамента государственных сборов распределено по экспоненциальному закону со средним значением 0,05 часа. Управление начинает работу в 8:00.

a) Определите плотность вероятности экспоненциального распределения, описывающего время между последовательными поступлениями клиентов.

b) Определите вероятность того, что до 8:15 в управлении клиентов не будет.

c) Сейчас 8:35. Последний клиент прибыл в управление в 8:26. Какова вероятность того, что следующий клиент прибудет до 8:38? Какова вероятность того, что следующего клиента не будет до 8:40?

d) Чему равно среднее число посетителей, которые прибудут в управление от 8:10 до 8:45?

6. Пусть время между отказами механизма распределено по экспоненциальному закону со средним 6 часов. Если механизм работал безотказно на протяжении последних трех часов, то какова вероятность того, что не будет отказа на протяжении следующего часа? Найдите также вероятность того, что на протяжении следующего получаса произойдет отказ.

7. Время между последовательными поступлениями клиентов в игротеку распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 10 минут.

a) Какова интенсивность прихода клиентов в час?

b) Какова вероятность того, что на протяжении следующих 15 минут в игротеку не придет ни один клиент?

c) Какова вероятность того, что на протяжении следующих 20 минут в игротеку придет по крайней мере один клиент?

8. Помогите управляющему нового ресторана быстрого питания описать количественно процесс поступления посетителей, оценивая долю интервалов времени между их приходами, которые будут а) меньше двух минут, б) больше трех минут и в) от двух до трех минут. Интенсивность поступления посетителей в рестораны подобного типа равна 35 клиентов в час. Время между приходами последовательных посетителей распределено по экспоненциальному закону.