9. Официанты О, и 02 ресторана быстрого питания в ожидании посетителей заняты следующей игрой: если в течение одной минуты в ресторан не прибудет ни один посетитель, О, платит 2 цента 02, в противном случае 2 цента от 02 получает О,. Требуется вычислить средний выигрыш официанта О, за восьмичасовой период. Время между последовательными прибытиями посетителей распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1,5 мин.

10. Пусть в предыдущей ситуации (упражнение 9) правила игры таковы, что официант О, платит 2 цента 02, если следующий посетитель прибывает через 1,5 мин. после предыдущего, а официант 02 платит такую же сумму О если очередной промежуток между последовательными прибытиями посетителей не превышает одной минуты. Если последовательные прибытия посетителей происходят в пределах от 1 до 1,5 мин., игра заканчивается вничью. Требуется вычислить средний выигрыш официанта Ог за восьмичасовой период.

11. Предположим, что в ситуации из упражнения 9 официант 02 платит 2 цента О если следующий посетитель прибывает после предыдущего в пределах 1 мин., и 3 цента, если это происходит в пределах от 1 до 1,5 мин. Официант 02 получает 5 центов от О если интервал между прибытиями следующего и предыдущего посетителей находится в пределах от 1,5 до 2 мин., и 6 центов, если это время больше 2 мин. Требуется вычислить средний выигрыш официанта Ог за восьмичасовой период.

12. Посетитель ресторана быстрого питания, который приходит в пределах четырехминутного интервала после предыдущего посетителя, обслуживается без очереди. Если же время между последовательными приходами посетителей составляет от 4 до 5 мин., время ожидания будет около 1 мин. Если же время между последовательными приходами посетителей больше 5 мин., время ожидания составляет около 2 мин. Время между последовательными приходами посетителей является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 6 мин.

a) Определите вероятность того, что прибывающий посетитель не будет ожидать в очереди.

b) Определите среднее время ожидания для прибывающего посетителя.

13. Известно, что время между отказами в работе холодильника является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 9000 часов (примерно один год эксплуатации), и производящая компания выдает на холодильник годичную гарантию. Какова вероятность того, что холодильник потребует ремонта во время гарантийного срока?

14. В университетском городке функционируют две автобусные линии: красная и зеленая. Красная обслуживает северную часть городка, зеленая - южную. Автобусные линии связаны пересадочной станцией. Время между прибытиями автобусов зеленой линии на пересадочную станцию является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 10 мин. Аналогичный показатель для автобусов красной линии равен 7 мин.

a) Найдите распределение времени ожидания студента, который прибывает по красной линии для пересадки на зеленую.

b) Найдите распределение времени ожидания студента, который прибывает по зеленой линии для пересадки на красную.

15. Докажите, что математическое ожидание и стандартное отклонение для экспоненциального распределения совпадают.

17.4. МОДЕЛИ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ (СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ И ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ)

В данном разделе рассматриваются две модели обслуживающих систем: в первой представлены только поступления клиентов (модель чистого рождения), во второй - только выход клиентов из системы (модель чистой гибели). Примером модели чистого рождения является процесс оформления свидетельств о рождении детей. В качестве модели чистой гибели может служить случайное изъятие хранящихся на складе запасов.

Данные модели строятся на основе экспоненциального распределения, которое задает интервал времени между рождениями или гибелью. Побочным продуктом этих построений является демонстрация тесной связи между экспоненциальным распределением и распределением Пуассона в том смысле, что одно из них автоматически определяет другое.

17.4.1. Модель чистого рождения

Пусть p0(t) - вероятность отсутствия событий (поступления клиентов) за период времени t. При условии, что длина интервала времени Т между поступлениями клиентов описывается экспоненциальным распределением с интенсивностью Я, будем иметь

p0(t) = Р{интервал времени Т > t} = 1 - Р{интервал времени Т < t} =

Экспоненциальное распределение базируется на предположении, что на достаточно малом временном интервале h > 0 может наступить не более одного события (поступления клиента). Следовательно, при h -> О

Этот результат показывает, что вероятность поступления клиента на протяжении интервала h прямо пропорциональна h с коэффициентом пропорциональности, равным интенсивности поступлений Я.

Чтобы получить распределение числа клиентов, поступивших на протяжении некоторого интервала времени, обозначим через pn(t) вероятность поступления п клиентов на протяжении времени t. При достаточно малом h > 0 имеем следующее.

Из первого уравнения следует, что поступление п клиентов на протяжении времени t + h возможно в двух случаях: если имеется п поступлений на протяжении времени t и нет поступлений за время h, или существует п - 1 поступлений за время t и одно поступление за время h. Любые другие комбинации невозможны вследствие того, что на протяжении малого периода h возможно наступление только одного события. В соответствии с условием независимости событий к правой части уравнения

р1(Л)=1-р0(Л) ЯЛ.

Pn(t + h)- Щ +Pn l(t)Ah, п>0, p0(t + h)*p0(tXl-Mi), п-0.

применим закон умножения вероятностей. Во втором уравнении отсутствие поступлений клиентов на протяжении интервала t + h возможно лишь тогда, когда нет поступлений клиентов за время Л.

Перегруппировывая члены и переходя к пределу при h -► 0, получаем следующее.

.(0-й8л(<+*л(/)=(0-.(0. >°.

где (/) - производная по t функции р (г).

Решение приведенных выше разностно-дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

рп(1) = {--, = 0,1,2,...

В данном случае мы получили дискретную плотность вероятности распределения Пуассона с математическим ожиданием М{п \ t} = At поступлений за время t. Дисперсия распределения Пуассона также равна At.

Полученный результат означает, что всякий раз, когда временные интервалы между моментами последовательных поступлений заявок распределены по экпо-ненциальному закону с математическим ожиданием 1/Я, число поступлений заявок в интервале, равном t единиц времени, характеризуется распределением Пуассона с математическим ожиданием Xt. Верным является и обратное утверждение.

Соответствие между экспоненциальным распределением (с интенсивностью поступлений Я) и распределением Пуассона показано в следующей таблице.

Экспоненциальное Распределение

распределение Пуассона

Пример 17.4.1

В небольшом штате каждые 12 минут рождается ребенок. Время между рождениями распределено по экспоненциальному закону. Требуется определить следующее.