Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 [ 206 ] 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

1. Среднее число рождений за год.

2. Вероятность того, что на протяжении одного дня не будет ни одного рождения.

3. Вероятность выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа, если известно, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств.

, 24x60 ,

Вычислим интенсивность рождении за день: Х = --- = 120 рождении за день.

Интенсивность рождений в штате за год равна At = 120 х 365 = 43800 рождений.

Вероятность того, что на протяжении одного дня не родится ни один ребенок, вычисляется с использованием пуассоновского распределения

, . (l20xl)Vl2,M

л(,) =-м-к0-

Для вычисления вероятности выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа при условии, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств, заметим, что, поскольку распределение числа рождений является пуассоновским, искомая вероятность сводится к вероятности появления 10 (= 50 - 40) рождений за один (=3-2) час. Так как Я = 60/12 = 5 рождений за час, то

/ ч (5x1) -

Р.о0) = ----= 0,01813.

104 10!

Формулы для вычисления функциональных параметров систем обслуживания включают громоздкие вычисления, поэтому для их выполнения желательно использовать программное обеспечение TORA. На рис. 17.2 показаны выходные данные, полученные с помощью программы TORA, для модели чистого рождения с интенсивностью At = 5 х 1 = 5 рождений за день.

Аналогичные вычисления выполняет шаблон Excel chl7PoissonQueues.xls, также показанный на рис. 17.2.

УПРАЖНЕНИЯ 17.4.1

1. Пусть в примере 17.4.1 служащий, который вводит информацию из свидетельств о рождении в компьютер, обычно ожидает, пока не накопится по крайней мере пять сертификатов. Определите вероятность того, что служащий будет вводить новый пакет данных каждый час.

2. Коллекционер произведений искусства в среднем раз в месяц ездит на художественные аукционы. Каждая поездка точно гарантирует одну покупку. Время между поездками имеет экспоненциальное распределение. Определите следующие параметры.

a) Вероятность того, что коллекционер на протяжении трехмесячного периода не купит ни одного произведения искусства.

b) Вероятность того, что коллекционер приобретет не более восьми произведений искусства на протяжении года.

c) Вероятность того, что интервал между двумя последовательными поездками коллекционера превысит один месяц.



Title: Example 17.4-1 Scenario 1: Pure Birth Model

Lambda = 5 00000 Lambda eff =

Ls = Ws =

5,00000

Mu = Rho/c =

Lq = Wq =

0 00000

Probability, pn

Cumulative, Pn

Probability, pn

Cumulative, Pn

0,00674

0,00674

0,03627

0,96817

0 03369

0,04043

0,01813

0.98630

0,08422

0,12465

0,00824

0,99455

0,14037

0,26503

0,00343

0,99798

0,17547

0.44049

0.00132

0,99930

0.17547

0,61596

0,00047

0,99977

0.14622

0,76218

0,00016

0.99993

0,10444

0,86663

0,00005

0,99998

0.06528

0.93191

0,00001

0.99999

M7M7cK5D/N/K Oueueing Model

Input Data (to enter an infinite value, type i or infinity):

0

Sys. Llm.. N=

infinity

Source limit. К

infinity

Output Results (Pur* Birth Model):

infinit-

I к*?

Lo =

Ws =

1-CPn

00D6737947D

0 0067379470

09932620530

00336897350

0 0404276820

D95957231 BO

0 0842243375

01246520195

08753479B05

014037Э8958

0 2650259153

0 7349740847

01754673698

D 4404932851

D.5595D67149

01754673698

0 6159606548

0 3840393452

01462228061

0 7621B34630

0.2378165370

0104444B630

0 8666283259

0.1333716741

0 0652780393

0 9319063653

0 0680936347

0 0362655774

0 9681719427

0D31B280573

0 01B1327887

0 9863047314

0 0136952686

0 00B2421767

0 9945469081

0 0054530919

0 0034342403

0 9979811464

0 0D2D188516

Рис. 17.2. Вычисление в TORA и Excel вероятностей из примера 17.4.1

3. В систему обслуживания банка заявки на обслуживание поступают с интенсивностью 2 заявки в минуту. Требуется определить следующие параметры.

a) Среднее число заявок на протяжении пяти минут.

b) Вероятность того, что в течение 0,5 минуты не поступит ни одной заявки.

c) Вероятность того, что по крайней мере одна заявка поступит в течение следующих 0,5 минуты.

d) Вероятность того, что промежуток времени между двумя последовательными поступлениями заявок на обслуживание равен по меньшей мере трем минутам.



4. Время между прибытиями посетителей в ресторан распределено по экспоненциальному закону со средним значением 5 минут. Ресторан открывается в 11:00. Требуется вычислить следующее.

a) Вероятность того, что в 11:12 в ресторане окажется 10 посетителей при условии, что в 11:05 в ресторане было 8 посетителей.

b) Вероятность того, что новый посетитель прибудет в ресторан в интервале между 11:28 и 11:33, если известно, что предыдущий посетитель прибыл в ресторан в 11:25.

5. Заказанные публичной библиотекой книги поступают в соответствии с пуассоновским распределением со средним значением 25 книг в день. На каждой полке в хранилищах можно разместить 100 книг. Требуется вычислить следующее.

a) Среднее количество полок, ежемесячно заполняемых новыми книгами.

b) Вероятность того, что ежемесячно для размещения поступающих книг потребуется более 10 книжных шкафов, если известно, что каждый книжный шкаф состоит из пяти полок.

6. В университетском городке функционируют две автобусные линии: красная и зеленая. Красная обслуживает северную часть городка, зеленая - южную. Автобусные линии связаны пересадочной станцией. Автобусы зеленой линии на пересадочную станцию прибывают в соответствии с распределением Пуассона в среднем каждые 10 мин. Аналогичный показатель для автобусов красной линии равен 7 мин.

a) Какова вероятность того, что оба автобуса остановятся на пересадочной станции на протяжении пятиминутного интервала?

b) У студента, чье общежитие находится рядом с пересадочной станцией, через 10 мин. лекция. Любой автобус доставит студента к учебному зданию. Поездка занимает 5 мин., затем студент должен около 3 мин. идти пешком к учебному зданию. Какова вероятность того, что студент вовремя придет на лекцию?

7. Докажите, что среднее и дисперсия распределения Пуассона на интервале t равны At, где А - интенсивность поступления заявок.

8. Получите распределение Пуассона из разностно-дифференциальных уравнений модели чистого рождения. Совет. Решением дифференциального уравнения

17.4.2. Модель чистой гибели

В данной модели предполагается, что система начинает функционировать, когда в момент времени 0 в ней имеется N клиентов и не допускается ни одного нового поступления клиента. Обслуженные клиенты выбывают из системы с интенсивностью клиентов в единицу времени. Пусть pn(t) - вероятность того, что после t временных единиц в системе остается п клиентов. Для получения разностно-дифференциальных уравнений относительно pn(t) обычно следуют логике рассуждений, использованных в модели чистого рождения (раздел 17.4.1). Поэтому имеем

у +a(t)y = b(t)

является функция




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 [ 206 ] 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292