р (г + Л) = (0(1-/Ж),

pjit + ft) =р (0(1 - /Л) +р.+1(0/Л, 0 < п < N,

Po(t + h)=Po(t)(l)+Pl(t)Mh.

При h -► ? получим

(0 = -№*()> pU) = -w.(0 + w.-i()- о< <,

p;()=w ,(0-

Эти уравнения имеют решение

(N-n)l

л(0 = -Ел(0.

которое называется усеченным распределением Пуассона.

Пример 17.4.2

Секция цветов бакалейно-гастрономического магазина складирует 18 дюжин роз в начале каждой недели. В среднем продается 3 дюжины роз в день (за один раз продается дюжина роз), но действительный спрос подчиняется распределению Пуассона. Как только уровень запаса снижается до 5 дюжин, делается новый заказ на поставку 18 дюжин роз в начале следующей недели. Запасы по своей природе таковы, что все неиспользованные до конца недели розы приходят в негодность и ликвидируются. Требуется вычислить следующие параметры системы.

1. Вероятность размещения заказа к концу каждого дня недели.

2. Среднее количество роз, которые будут ликвидированы к концу недели.

Так как розы покупаются с интенсивностью = 3 дюжины в день, то вероятность того, что заказ будет размещен в конце дня t, равна

s (3fy8 V3

P <5 =Po()+Pl(0+--+/>5(0=M)+ -ЧГ =12 -7-

С помощью программы TORA получим следующие результаты расчетов (файл chl 7ToraQueuesExl 7-4-2.txt).

Среднее количество роз, которые будут ликвидированы к концу недели (t = 7), вычисляется (с использованием программы TORA) следующим образом.

M[n\t = 7} = лр (7) = 0,664 дюжины.

УПРАЖНЕНИЯ 17.4.2

1. На основе примера 17.4.2 выполняется следующее.

a) Используйте программу TORA для проверки значений pn<s(t) при t = 1, 2, ...,7.

b) Используйте программу TORA для вычисления р (7), п = 1, 2, 18, и затем проверьте, что эти вероятности дают значение М{п \ t = 7} = 0,664 дюжины.

2. В примере 17.4.2 определите следующее.

a) Вероятность того, что за три дня запас роз будет исчерпан.

b) Среднее количество роз, оставшихся к концу второго дня.

c) Вероятность того, что по крайней мере одна дюжина роз будет продана в течение четвертого дня, если последняя покупка роз была в конце третьего дня.

d) Вероятность того, что интервал времени до следующей покупки роз не превышает полдня, если последняя покупка была днем раньше.

e) Вероятность того, что на протяжении первого дня не будет продано ни одной дюжины роз.

3. Джазовый оркестр средней школы дает концерт в зале на 400 мест. Местные фирмы покупают билеты блоками по 10 билетов и дарят их молодежным организациям. Этим фирмам билеты продаются лишь 4 часа в день перед концертом. Процесс заказа билетов по телефону является пуассоновским со средним значением, равным 10 звонков в час. Билеты, оставшиеся после закрытия кассы, продаются со скидкой за час перед началом концерта. Требуется определить следующее.

a) Вероятность того, что можно будет купить уцененные билеты.

b) Среднее значение количества уцененных билетов.

4. Каждое утро в холодильник небольшой мастерской помещается два ящика (по 24 банки) безалкогольных напитков для десяти работников. Они могут утолять свою жажду в любой момент на протяжении восьмичасового рабочего дня (с 8:00 до 16:00). Процесс потребления напитков является случайным (в соответствии с распределением Пуассона), но известно, что в среднем каждый работник употребляет примерно 2 банки в день. Какова вероятность того, что запас напитков исчерпается к полудню? К моменту закрытия мастерской?

5. Студент-первокурсник ежемесячно получает от родителей банковский депозит на 100 долл. для покрытия текущих расходов. Получение студентом денег чеками по 20 долл. каждый на протяжении месяца происходит случайным образом в соответствии с экспоненциальным законом со средним значением 1 раз в неделю. Определите вероятность того, что к концу месяца (т.е. к концу четвертой недели) у студента не будет денег на текущие расходы.

6. На складе находится 80 единиц продукции, которая изымается в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 5 единиц в день. Требуется определить следующее.

a) Вероятность того, что за два дня из склада будет изъято 10 единиц продукции.

b) Вероятность того, что к концу четвертого дня на складе не останется ни одной единицы продукции.

c) Среднее количество изъятых единиц продукции на протяжении четырех дней.

7. Ремонтный цех предприятия только что складировал 10 комплектов запасных частей для ремонта автомобилей данного предприятия. Пополнение запаса в таком же объеме происходит каждые 7 дней. Время между поломками автомобилей является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением, равным одному дню. Определите вероятность того, что автомобиль 2 дня будет находиться в неисправном состоянии из-за отсутствия запасных частей.

8. Объем спроса на изделие является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона со средним значением 3 единицы в день. Максимальная вместимость склада равна 25 единицам. Склад полностью заполняется каждый понедельник сразу же после получения нового заказа. Объем заказа зависит от количества изделий, оставшихся к концу недели в субботу (воскресенье - выходной день). Требуется определить следующие параметры.

a) Средний недельный объем заказа.

b) Вероятность отсутствия запаса утром в пятницу.

c) Вероятность того, что недельный объем заказа превысит 10 единиц.

9. Докажите, что в модели чистой гибели распределение времени между удалениями (подчиняющимися усеченному распределению Пуассона) клиентов из системы является экспоненциальным с математическим ожиданием 1 /единиц времени.

10. Получите усеченное распределение Пуассона из разностно-дифференциаль-ных уравнений модели чистой гибели с помощью метода индукции. (Подсказка. См. указание к упражнению 17.4.1.8.)

17.5. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В данном разделе рассматриваются общие системы массового обслуживания, в которых есть как входной поток клиентов, так и выходной поток обслуженных клиентов. Время между последовательными поступлениями клиентов и время обслуживания являются экспоненциально распределенными случайными величинами. Эта модель служит основой при рассмотрении специализированных моделей Пуассона, которым посвящен раздел 17.6.

При рассмотрении общих систем массового обслуживания предполагается, что система функционирует в течение достаточно большого интервала времени, по истечении которого в ее работе наступает стационарный режим. Этот режим функционирования обслуживающей системы противопоставляется переходному (или неустановившемуся) режиму, который превалирует в самый начальный период функционирования системы. В этой главе не рассматриваются переходные режимы работы систем массового обслуживания, поскольку, во-первых, это связано с серьезными математическими трудностями, а, во-вторых, на практике данные системы обычно предназначаются для работы в течение весьма длительного времени.

В рассматриваемой в этом разделе общей модели системы массового обслуживания предполагается, что и интенсивность поступления клиентов, и интенсивность выходного потока зависят от состояния системы, что означает их зависимость от числа клиентов в системе обслуживания. Например, сборщик платы за проезд по автомагистрали в часы интенсивного движения стремится ускорить сбор пошлины. Или в мастерской с фиксированным количеством станков интенсивность их поломки