убывает по мере возрастания числа аварийных станков, ибо лишь работающие станки могут выходить из строя. Введем следующие обозначения.

п - число клиентов в системе обслуживания (в очереди и на обслуживании),

Яп - интенсивность поступления в систему клиентов при условии, что в системе уже находится п клиентов,

цп - интенсивность выходного потока обслуженных клиентов при условии, что в системе находится п клиентов,

рп - вероятность того, что в системе находится п клиентов.

В общей модели системы массового обслуживания устанавливается функциональная зависимость вероятностей рп от Лп и цп. Эти вероятности используются затем при определении функциональных характеристик обслуживающей системы, таких как средняя длина очереди, среднее время ожидания и средний коэффициент использования сервисов.

Вероятности рп определяются из диаграммы интенсивностей переходов, представленной на рис. 17.3. Обслуживающая система находится в состоянии п, если в ней имеется п клиентов. Как показано в разделе 17.3, вероятность появления более одного нового клиента на протяжении малого промежутка времени Л стремится к нулю при Л -> 0. Это означает, что при п > 0 состояние п может быть изменено в двух возможных направлениях: п-1, когда с интенсивностью обслуженный клиент выбывает из системы, и п + 1, когда клиенты поступают с интенсивностью Хп. Состояние 0 может измениться лишь к состоянию 1, когда имеет место поступление клиента с интенсивностью Л0. Заметим, что 0 не определено, так как клиенты не могут выбывать из пустой системы обслуживания.

Рис. 17.3. Диаграмма интенсивностей переходов

При выполнении условий стационарности ожидаемые интенсивности входного и выходного потоков в состоянии п (п > 0) должны быть равны. Так как состояние п может изменяться лишь к состояниям п - 1 и п + 1, отсюда следует

( ожидаемая интенсивность у входного потока в состоянии п)

Аналогично

( ожидаемая интенсивность

= ( + ц.)л-

выходного потока в состоянии п)

Приравнивая эти две интенсивности, получаем следующее уравнение баланса.

К-А-1 + A + iP .i = (k +V )Pn> n = 1. 2, ... Как видно из рис. 17.3, уравнение баланса, соответствующее п = 0, имеет вид

Уравнения баланса решаются рекуррентно, последовательно выражая вероятности р, черезр0 следующим образом: для п = 0 имеем

Для п = 1 получаем

Подставляя сюда pt = (A0 /i)p0 и упрощая полученное выражение, имеем (проверьте!)

Рг

Методом индукции можно показать, что

V м р .,-р, ;

Значение р0 определяется из уравнения * 0/? =

р0, л = 1, 2,...

Пример 17.5.1

Бакалейный магазин работает с тремя кассами. Вывеска возле касс извещает покупателей, что в любой момент будет открыта дополнительная касса, как только число покупателей в любой очереди превысит 3. Это означает, что если число покупателей меньше четырех, то работать будет лишь одна касса. Если число покупателей от четырех до шести, то будет работать две кассы. Если имеется больше шести покупателей, будут открыты все три кассы. Покупатели подходят к кассам в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 10 человек в час. Время обслуживания одного покупателя в кассе распределено по экспоненциальному закону со средним 12 минут. Определим в установившемся режиме вероятность р , что п покупателей стоят в очереди в кассу.

Из формулировки задачи имеем следующее.

Яп - Л = 10 покупателей в час, п = 0, 1,

yj = 5 покупателей в час, и = 0,1,2,3,

2x5 = 10 покупателей в час, и = 4,5,6, 3x5 = 15 покупателей в час, и = 7,8, ...

Следовательно,

Pi :

A=hT

Ро =8р0,

Ро = 8Р0, О

77 I а-

Р , = 7,8, ...

Значение р0 определяется из уравнения

Ро+Ро

или, что равносильно,

2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8I - + !

Ро 31 + 8

..ij.f-

= 1.

Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии

i 0 1-Л

получаем следующее.

31 + 8

Следовательно,р0= 1/35.

Зная р0, можно определить любую вероятность, имеющую отношение к задаче. Например, вероятность того, что будет работать лишь одна касса, вычисляется как вероятность нахождения в системе не больше трех клиентов, т.е.

Ро + Р, +Р2 +Рз = (1 + 2 + 4 + 8X1/35) * 0,273. Здесь предполагается, что в бакалейном магазине будет открыта как минимум одна касса, даже в том случае, когда вовсе нет покупателей.

Вероятности рп можно использовать для определения численных значений функциональных характеристик рассматриваемой системы. Например, среднее количество неработающих касс равно

Зр0 + 2(р, +р2 +Рз) + 1(р4 +Рь +р6) + 0(р7 +р8 + ...) = 1 касса.

УПРАЖНЕНИЯ 17.5

1. В примере 17.5.1 определите следующие характеристики системы.

a) Распределение вероятностей количества работающих касс.

b) Среднее количество неработающих касс.