2. Пусть в задаче о бакалейном магазине из примера 17.5.1 время между подходом покупателей к кассам распределено по экспоненциальному закону со средним 5 мин., а время расчета одного покупателя в кассе распределено по такому же закону со средним 10 мин. Предположим далее, что будет установлена четвертая касса, и все кассы будут открываться при увеличении числа покупателей на два. Требуется определить следующие величины.

a) Вероятности рп установившегося режима для всех п.

b) Вероятность того, что четвертая касса будет открыта.

c) Среднее количество неработающих касс.

3. Пусть в задаче о бакалейном магазине из примера 17.5.1 три кассы всегда открыты, и обслуживание организовано так, что покупатель будет подходить к первой свободной кассе. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что покупатели будут у всех трех касс.

b) Вероятность того, что подошедший к кассам покупатель не будет ожидать обслуживания.

4. Банк имеет один пункт, где клиенты могут воспользоваться банковским автоматом, не выходя из автомобиля. Автомобили прибывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 12 автомобилей в час. Время, необходимое для обслуживания клиента банкоматом, распределено по экспоненциальному закону со средним, равным 6 мин. Максимальная вместимость полосы обслуживания банкоматом составляет 10 автомобилей. При заполненной полосе прибывающие клиенты должны обратиться к другому банку. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что прибывающий клиент не сможет воспользоваться услугами банковского автомата из-за того, что полоса обслуживания будет заполнена.

b) Вероятность того, что прибывающий клиент не сможет воспользоваться услугами банковского автомата без ожидания.

c) Среднее количество автомобилей в полосе обслуживания.

5. Вы слышали когда-либо, чтобы кто-то повторял противоречивое заявление: Это место настолько переполнено, что больше туда никто не ходит ? Это утверждение можно интерпретировать в том смысле, что возможность отказа от обслуживания возрастает с ростом числа клиентов, которые нуждаются в обслуживании. Возможной основой для моделирования этой ситуации является утверждение о том, что интенсивность входного потока клиентов уменьшается, если число клиентов в системе возрастает. Для конкретности рассмотрим упрощенную модель бильярдного клуба, куда посетители обычно приходят парами для игры в бильярд. Нормальная интенсивность прихода клиентов равна шести парам в час. Однако если число пар в бильярдном клубе превышает восемь, интенсивность поступления клиентов уменьшается до 5 пар в час. Предполагается, что входной поток подчиняется распределению Пуассона. Время игры каждой пары является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 30 мин. Бильярдный клуб имеет в своем распоряжении 5 бильярдных столов и одновременно может расположить не более 12 пар. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что клиенты начнут отказываться от сервиса.

b) Вероятность того, что все бильярдные столы заняты.

c) Среднее количество используемых бильярдных столов.

d) Среднее число пар, ожидающих освобождения бильярдного стола.

6. Парикмахерская в любой момент времени может обслужить только одного клиента. Имеется также три места для ожидающих клиентов. Это значит, что в парикмахерской одновременно не могут находиться более четырех человек. Клиенты приходят в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 4 человека в час. Время обслуживания является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 15 мин. Определите следующие величины.

a) Вероятности установившегося режима.

b) Ожидаемое число клиентов в парикмахерской.

c) Вероятность того, что клиент уйдет в поисках другой парикмахерской, поскольку все места заняты.

7. Рассмотрите систему обслуживания с одним сервисом, в которой интенсивности входного и выходного потоков имеют следующий вид.

Лп = 10- п, п = 0, 1, 2, 3,

ц =-+5, и = 1,2,3,4. 2

Эта ситуация эквивалентна снижению интенсивности входного потока и увеличению интенсивности выходного потока при увеличении числа п клиентов в системе.

a) Постройте диаграмму переходов и уравнение баланса для описанной ситуации.

b) Определите вероятности установившегося режима.

8. Рассмотрите простую систему обслуживания, когда в ней может находиться лишь один клиент. Прибывающие клиенты, которые застают систему занятой, покидают ее и больше к ее услугам не обращаются. Пусть поступления клиентов происходят в соответствии с распределением Пуассона со средним Л человек в единицу времени, а время обслуживания является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним 1 / временных единиц.

a) Постройте диаграмму переходов и уравнения баланса.

b) Определите вероятности установившегося режима.

c) Определите среднее число клиентов в системе.

9. Процедура получения общего решения для системы обслуживания общего вида с использованием метода индукции выполняется следующим образом. Рассмотрим соотношения

X, *

р0, к = и,и-1,

Чтобы получить искомое выражение для рп, следует подставить выражения длярп 1 ирп 2 в общее разностное уравнение, включающееpn, рп1 ирп г Проверьте корректность этой процедуры.

17.6. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

На рис. 17.4 схематически представлена специализированная система обслуживания пуассоновского типа, в которой параллельно функционируют с идентичных сервисов (средств обслуживания). Ожидающий клиент выбирается из очереди для обслуживания на первом свободном сервисе. Интенсивность поступления клиентов в систему равна Я клиентов в единицу времени. Все параллельные сервисы являются идентичными; это означает, что интенсивность обслуживания каждого сервиса равна ц клиентов в единицу времени. Число клиентов, находящихся в системе обслуживания, включает тех, кто уже обслуживается, и тех, кто находится в очереди.

Обозначения, наиболее подходящие для характеристик системы обслуживания (рис. 17.4), имеют следующую структуру:

а - тип распределения моментов времени поступления клиентов в систему,

Ь - тип распределения времени между появлением элементов выходного потока (времени обслуживания),

с - количество параллельно работающих сервисов (= 1, 2, со),

d - дисциплина очереди,

е - максимальная емкость (конечная или бесконечная) системы (количество клиентов в очереди плюс число клиентов, принятых на обслуживание),

/ - емкость (конечная или бесконечная) источника, генерирующего клиентов.

Рис. 17.4. Система обслуживания с несколькими сервисами

Стандартными обозначениями для типов распределений входного и выходного потоков (символы а и Ь) являются следующие.

М- марковское (или пуассоновское) распределение моментов поступления клиентов в систему либо их выхода из нее (или эквивалентное экспоненциальное

(a/b/c):(d/e/f),

- Система обслуживания Очередь- 4*- 01

Средства {*- обслуживания -*

Входной поток с интенсивностью Я

Выходной поток с интенсивностью ц