распределение интервалов времени между моментами последовательных поступлений или продолжительностей обслуживания клиентов),

D - детерминированный (фиксированный) интервал времени между моментами последовательных поступлений в систему клиентов (или детерминированная (фиксированная) продолжительность обслуживания клиентов),

Ек - распределение Эрланга, или гамма-распределение интервалов времени (или, что то же самое, распределение суммы независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение),

GI - произвольный (общий) тип распределения моментов поступления клиентов на обслуживание,

G - произвольный (общий) тип распределения продолжительности обслуживания клиентов.

Для дисциплины очереди (символ d) используются следующие обозначения.

PCFS - первым пришел - первым обслуживаешься,

LCFS - последним пришел - первым обслуживаешься,

SIRO - случайный отбор клиентов,

GD - произвольный (общий) тип дисциплины.

Для иллюстрации рассмотрим структуру системы обслуживания, которая соответствует модели (М / D 110): (GD / N / оо). В соответствии с принятыми обозначениями здесь речь идет о системе (и, соответственно, модели) массового обслуживания с пуассоновским входным потоком (или экспоненциальным распределением интервалов времени между моментами последовательных поступлений клиентов), фиксированным временем обслуживания и десятью параллельно функционирующими сервисами. При этом дисциплина очереди не регламентирована, и максимальное количество допускаемых в систему клиентов равно N. Наконец, источник, порождающий клиентов , имеет неограниченную емкость.

В качестве исторической справки заметим, что первые три элемента (а / Ь / с) рассмотренного обозначения были введены Кендаллом (D. G. Kendall) в 1953 году, и в литературе по теории массового обслуживания они фигурируют как обозначения Кеидалла. Позднее в 1966 году Ли (А. М. Lee) добавил к ним символы d и е. Автором этой книги в 1968 году был введен последний символ принятых обозначений - /.

Перед детальным рассмотрением системы обслуживания пуассоновского типа покажем, как с помощью полученных в разделе 17.5 вероятностей рп, соответствующих стационарному режиму, можно получить функциональные характеристики системы.

17.6.1. Функциональные характеристики стационарных систем обслуживания

Основными функциональными характеристиками систем массового обслуживания являются следующие.

Lt - среднее число находящихся в системе клиентов,

Lq - среднее число клиентов в очереди,

W3 - средняя продолжительность пребывания клиента в системе,

W - средняя продолжительность пребывания клиента в очереди, с - среднее количество занятых средств обслуживания (сервисов).

Напомним, что система включает как очередь, так и средства обслуживания.

Покажем, как перечисленные функциональные характеристики получаются (прямо или косвенно) из вероятностей рп - вероятностей того, что в системе находится п клиентов. В частности, имеем следующее.

L,= Z( -c)/> -

Зависимость между Lt и Wt (а также между L? и Wq), известная в литературе по теории массового обслуживания как формула Литтла, имеет вид

L = X ,

в эфф S

q *рф q

Эти соотношения справедливы при достаточно общих условиях. Параметр А представляет собой эффективную интенсивность поступления клиентов в систему обслуживания. Он равен (исходной) интенсивности поступления клиентов Л, когда все прибывающие клиенты имеют возможность попасть в обслуживающую систему. Если же некоторые клиенты не имеют такой возможности по той причине, что она заполнена (например, заполненная автостоянка), то Дэфф < Л. Позже мы покажем, как вычисляется Л .

эфф

Существует также прямая зависимость между величинами Ws и W . По определению

Средняя продолжительность ( Среднее время ) (Среднее время

пребывания в системе ) у пребывания в очереди) обслуживания j Математически это записывается в следующем виде

w, = w1 + -.

Теперь можно получить формулу, связывающую L и Lq, умножая обе части последнего соотношения на Л и используя формулу Литтла. В результате получаем

По определению разность между средним числом находящихся в системе клиентов Ls и средним числом клиентов в очереди Lq равна среднему количеству занятых узлов обслуживания с . Следовательно, имеем

c=L,-L =h+L.

Поэтому коэффициент использования узлов обслуживания вычисляется как отношение с/с .

Пример 17.6.1

Автостоянка для посетителей колледжа имеет всего пять мест. Автомобили прибывают на стоянку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью шесть автомобилей в час. Время пребывания автомобилей на стоянке является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним 30 мин. Посетители, которые не могут найти свободного места на стоянке непосредственно по прибытии, могут временно ожидать освобождения места на территории стоянки. Таких мест для ожидания на стоянке имеется три. Если и стоянка, и все места для ожидания заполнены, то прибывшие автомобили вынуждены искать другую автостоянку. Требуется определить следующее:

а) вероятностьрп того, что в системе находится п автомобилей,

б) эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку,

в) среднее количество автомобилей на стоянке,

г) среднее время нахождения автомобиля в очереди на территории стоянки,

д) среднее количество занятых мест на автостоянке.

Прежде всего, заметим, что место для стоянки в рассматриваемой ситуации выступает в роли сервиса, так что система имеет всего с = 5 средств обслуживания. Максимальная вместимость системы равна 5 + 3 = 8 автомобилей.

Вероятность рп может быть определена как частный случай из общей модели, рассмотренной в разделе 17.5. Например, имеем

А = 6 автомобилей в час, п = 0, 1, 2, 8,

f60N

- \ = 2п автомобилей в час, п -

1зо,

1, 2,

: 10 автомобилей в час, п = 6,7,8.

Следовательно, из соотношений, полученных в разделе 17.5, вычисляем

р , и = 1, 2, ...,5,

-/V и = 6,7,8.

Значениер0 вычисляется путем подстановки значений длярп, п = 1, 2, 8, в уравнение р0 + рх + ... + р8 = 1. В результате получаем

32 -j* I6 I1 Is Л

3 з2

6 7 8

Ро + Ail - + - + - + - + - +-г +-7 +-Г

1 1! 2! 3! 4! 5! 5!5 5!52 5!5

= 1.

Решением этого уравнения является р0 = 0,04812 (проверьте!). Найденное значение р0 позволяет вычислить все вероятности отр, до ps.

0,14436

0,21654

0,21654

0,16240

0,09744

0,05847

0,03508

0,02105