Эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку Яэфф можно вычислить с использованием принципиальной схемы (рис. 17.5), в соответствии с которой клиенты из источника поступают с интенсивностью Я. Прибывающий автомобиль может поступить на стоянку с интенсивностью Л или уехать в поисках другой стоянки с интенсивностью Я , , т.е. Я = + Я . Автомобиль

г./ потери7 эфф потери

не может въехать на стоянку, если там уже имеется 8 автомобилей. Это значит, что часть автомобилей, которые не смогут попасть на стоянку, пропорциональна р8. Следовательно,

Я я = Ярг = 6 х 0,02105 = 0,1263 автомобилей в час,

Лфф = Апотери = 6-0,1263 = 5,8737 автомобилей в час.

Среднее количество автомобилей на стоянке (тех, которые занимают места стоянки, и тех, которые ожидают места) определяется значением Ls - средним числом клиентов в системе. Значение/ определяется черезр следующим образом.

Ls = 0р0 + 1р, + ... + 8pg = 3,1286 автомобилей.

Источник

Рис. 17.5. Соотношение между различными показателями интенсивности

Автомобиль, ожидающий, пока освободится место для стоянки, фактически находится в очереди. Следовательно, время его ожидания равно величине Wq. Для вычисления Wq используем определение

w4=w,--.

Так как

w k = ЗЛ286 = 65 *,фф 5,8737

W =0,53265- -= 0,03265 часа. ч 2

Среднее количество занятых мест на автостоянке равно среднему значению занятых сервисов и поэтому вычисляется следующим образом.

с = L, - L = Ьй. = ЬЕЕ = 2,9368 мест. и 2

Отсюда получаем, что коэффициент использования мест на стоянке равен

19368 = 0,58736.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.1

1. В задаче из примера 17.6.1 выполните следующее.

a) Вычислите Lq, используя для этого формулу * [п-с)р .

b) На основании найденного значения Lq вычислите Wa.

c) Вычислите среднее количество автомобилей, которые не смогут въехать на территорию стоянки на протяжении восьмичасового периода.

d) Покажите, что среднее количество свободных мест на стоянке равно

ЕГ,о(с-я)л-

2. Решите задачу из примера 17.6.1, если количество мест для стоянки автомобилей равно 6, количество временных мест - 4, Д = 10 автомобилей в час, и среднее время нахождения автомобиля на месте стоянки равно 45 мин.

17.6.2. Модели с одним сервисом

В этом разделе представлены две модели обслуживающей системы с одним средством обслуживания (т.е. с = 1). Предполагается, что клиенты поступают с постоянной интенсивностью Д. Интенсивность обслуживания также постоянна и равна /I клиентов в единицу времени. Первая модель не устанавливает ограничений на вместимость системы, во второй модели предполагается, что вместимость системы является ограниченной. В этих двух моделях источник, порождающий клиентов, имеет неограниченную емкость.

Рассматриваемые здесь модели обслуживающих систем (как, по сути, и все остальные модели раздела 17.6) являются частными случаями систем обслуживания общего вида, рассмотренных в разделе 17.5.

Используем обозначения Кендалла, чтобы описать характеристики системы обслуживания в каждом случае. Так как вывод выражения для рп в разделе 17.5 и всех функциональных характеристик обслуживающей системы в подразделе 17.6.1 выполнен независимо от конкретной дисциплины очереди, в обозначениях будем использовать символ GD (дисциплина очереди не регламентирована).

Модель (М/М/1): (GD/qo/oo). Используя обозначения общей модели, имеем

Хп = X и цц = ц для всех п = 0,1,2,...

Поскольку отсутствуют ограничения на емкость очереди, и, следовательно, все прибывающие клиенты могут попасть в систему обслуживания, то Д = Д и Дптри = 0.

Обозначим р= Л/fi. Тогда выражение для вероятности рп в общей модели принимает следующий вид:

Р = Р Р<,П = 0,1,2,... Для определения величины р0 используется тождество

р0(1+р + р2+ ...) = 1.

Предполагаем, что р< 1, тогда геометрический ряд имеет конечную сумму 1/(1 - р), поэтому р0 = 1 - р.

Следовательно, общая формула длярп имеет вид

Ра = (1-Р)р, п = 1,2.....(р<1).

Эти значения вероятностей рп (включая вероятность р0) соответствуют геометрическому распределению.

При выводе формулы для рп предполагалось, что р<1. Это означает, что для достижения системой стационарного режима функционирования необходимо, чтобы интенсивность поступления клиентов Я была строго меньше интенсивности обслуживания р. Если Я> , геометрический ряд является расходящимся, и, следовательно, вероятности рп стационарного состояния не существуют. В этом случае система обслуживания будет функционировать в нестационарном режиме, когда длина очереди со временем неограниченно возрастает.

Среднее число находящихся в системе клиентов Lt как функциональная характеристика обслуживающей системы вычисляется по следующей формуле:

i.=z=z 0-p)p =0-p)pzp =0-p)pfrL]=7£--

о =и ар =о dp\\-p) 1-р

Так как в рассматриваемой модели Яэфф = Я, то остальные функциональные характеристики обслуживающей системы вычисляются с использованием соотношений из подраздела 17.6.1, что приводит к следующим результатам.

X ц(1-р) ц-Х

с = Ls - L = р.

Пример 17.6.2

Автоматическая мойка для автомобилей имеет только один моечный бокс. Автомобили прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средним 4 машины в час и могут ожидать обслуживания на стоянке рядом с автомойкой. Время мойки автомобиля является экспоненциально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 10 мин. Автомобили, которые не помещаются на стоянке, могут ожидать на прилегающей к автомойке улице. Это значит, что практически нет ограничений на емкость системы обслуживания. Хозяин автомойки хочет определить количество мест на стоянке для автомобилей.

Для рассматриваемой задачи имеем Я = 4 автомобиля в час и р - 60/10 = 6 автомобилей в час. Так как р= Я/р< 1, то система может функционировать в стационарном режиме.

Результаты использования программы TORA для решения рассматриваемой задачи, представленные на рис. 17.6, получены путем введения данных в следующем порядке: Я = 4, р= 6, с = 1, емкость системы равна оо и емкость источника также равна оо.

Результаты решения показывают, что среднее количество автомашин, ожидающих в очереди, равно Lq = 1,33 автомашины. Мы не можем рассматривать Lq в качестве единственного аргумента при определении искомого количества мест на стоянке, ибо при расчете должна учитываться максимально возможная длина очереди. Например, можно рассчитать количество мест на стоянке, при котором по меньшей мере 90 % прибывших автомобилей найдет место на стоянке.