Title: Example 17.6-2

Scenario 1-- (M/M/1):(GD/intlnity/infinity)

Lambda = 4,00000 Lambda eff = 4,00000

Ls = 2,00000 Ws = 0,50000

Mu = 6,00000

Rho/c = 0,66667

Lq = 1,33333

Wq = 0,33333

Рис. 17.6. Результаты расчетов для задачи примера 17.6.2

Пусть неизвестная переменная s представляет искомое количество мест на стоянке. Тогда система имеет емкость s + 1 (очередь плюс место на мойке). Прибывающий автомобиль в 90 % случаев получит место на стоянке, если в системе находится максимум s автомобилей. Это условие эквивалентно следующему вероятностному утверждению:

p0+Pl + ...+ps>0,9.

Из листинга, показанного на рис. 17.6, следует, что суммы вероятностей Рп равны 0,86831 и 0,91221 при п - 4 и п = 5 соответственно. Это значит, что условие выполняется при s > 5 мест на стоянке.

Количество мест на стоянке s может быть также определено с использованием формулы, определяющейрп. Получаем

(1 -р)(1 +р + р+ ... + )>0,9.

Сумма усеченного геометрического ряда равна (1 - +1)/(1 - р). Следовательно, последнее выражение приводится к виду

(1-/Г)>0,9.

Упрощая это неравенство, получаем

/Г<0,1.

Логарифмируя обе части последнего неравенства, получаем следующее.

,гШ2-,.4.в7,.5.

Таким образом, необходимо s > 5 мест на стоянке.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.2

1. В задаче из примера 17.6.2 выполните следующее.

a) Определите процент использования автомойки.

b) Определите вероятность того, что прибывающий автомобиль должен ожидать на стоянке, прежде чем попасть в моечный бокс.

c) Определите вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место на стоянке при условии, что там имеется семь мест.

d) Сколько должно быть мест на стоянке, чтобы прибывающий автомобиль в 99 % случаев нашел место на стоянке?

2. Студент университета Джон иногда подрабатывает, чтобы улучшить свое материальное положение. Интервал времени между последовательными поступлениями заявок на работу является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением пять дней. Время, необходимое для выполнения работы, также является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением четыре дня.

a) Какова вероятность того, что Джон будет без работы?

b) Если за каждую работу Джон получает примерно 50 долл., то каков его среднемесячный заработок?

с) Если в конце семестра Джон решает передоверить невыполненные работы другому лицу по 40 долл. за каждую работу, то каково среднее значение суммы, которую должен уплатить Джон?

3. На протяжении многих лет детектив Коломбо из отделения полиции города Фейетвилл демонстрирует феноменальный успех в расследовании каждого криминального дела, за которое он берется. Для него раскрытие любого криминального дела - это всего лишь вопрос времени. Коломбо соглашается, что время раскрытия каждого отдельного преступления является совершенно случайным , но в среднем каждое расследование занимает около полторы недели. Криминальные дела в мирном городке, где работает Коломбо, явление не очень частое. Они происходят случайным образом с интенсивностью одно преступление в месяц. Проанализируйте производительность работы детектива Коломбо; в частности, найдите следующие показатели.

a) Среднее число случаев, которые ожидают расследования.

b) Процент времени, когда детектив занят расследованиями.

c) Среднее время, необходимое для раскрытия преступления.

4. Автомобили прибывают к пропускному пункту туннеля Линкольна, где взимается плата за проезд, в соответствии с распределением Пуассона со средним 90 единиц в час. Время прохождения пропускного пункта автомобилями является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним 38 секунд. Водители жалуются на долгое время ожидания, и власти планируют сократить среднее время прохождения пропускного пункта до 30 секунд, установив автоматическое устройство для взимания транспортной пошлины, если только выполняются два условия: 1) среднее количество ожидающих автомобилей превышает 5 единиц при существующей системе взимания пошлины и 2) процент времени простоя нового устройства, установленного на пропускном пункте, не будет превышать 10 %. Может ли быть оправдана установка нового устройства?

5. Ресторан быстрого питания имеет один пункт обслуживания, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины. Машины прибывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 2 клиента за каждые 5 мин. Возле пункта обслуживания может расположиться не больше 10 автомашин, включая ту, которую обслуживают. Другие автомашины при необходимости могут ожидать обслуживания за пределами этого пространства. Время обслуживания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1,5 мин. Определите следующие показатели.

a) Вероятность того, что пункт обслуживания свободен.

b) Среднее число клиентов, ожидающих обслуживания.

c) Среднее время ожидания клиента до того момента, когда он делает заказ.

d) Вероятность того, что очередь превысит десятиместное пространство перед пунктом обслуживания.

6. Банк располагает одним пунктом обслуживания, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины. Клиенты прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 10 клиентов в час. Время обслуживания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 5 мин. Напротив пункта обслуживания имеется место для трех автомобилей, включая и тот, что обслуживается. Другие прибывающие автомашины выстраиваются в очередь вне этого пространства.