Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 [ 213 ] 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

a) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль может занять одно из трех мест возле пункта обслуживания?

b) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль будет ожидать обслуживания вне зоны для трех автомобилей?

c) Каково среднее время ожидания прибывающего клиента до того момента, когда его начнут обслуживать?

d) Сколько мест для автомобилей должно быть возле обслуживающего пункта обслуживания, чтобы прибывающий клиент мог найти там место по крайней мере в 20 % случаев?

7. В модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания покажите, что в общем случае Ls не равно Lq + 1. При каком условии возникает это равенство?

8. Для модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания получите выражение для Lq, используя формулу для 2(и -\)р -

9. Для модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания покажите, что

a) среднее число клиентов в очереди, если она не пуста, равно 1/(1 - р),

b) среднее время ожидания в очереди равно 1/(р - Я).

Распределение времени ожидания в модели (M/M/l):(FCFS/oo/oo)2. Вывод формулы для вероятностей рп в общей модели системы обслуживания, рассмотренной в разделе 17.5, абсолютно не зависит от дисциплины очереди. Это значит, что математические ожидания всех функциональных параметров Wt, W , Lt и Lq справедливы для системы с любой дисциплиной очереди.

В отличие от среднего времени ожидания в системе обслуживания, плотность вероятности его распределения зависит от дисциплины очереди. Проиллюстрируем это утверждение путем построения плотности вероятности времени ожидания для модели (М/М/1) с дисциплиной очереди FCFS ( первым пришел - первым обслуживаешься ).

Обозначим через г количество времени, которое только что прибывший клиент проведет в системе от момента прибытия до завершения обслуживания. Исходя из дисциплины очереди FCFS, если в системе уже находится п клиентов, которые поступили в систему перед только что прибывшим, то

x = t[ + t2 +... + / ,.

где t\ - время, необходимое для завершения обслуживания клиента, который уже находится в средстве обслуживания системы, а г2, г3, ...,< - интервалы времени, которые потребуются для обслуживания п - 1 клиентов, которые находятся в очереди. Величина tn+1 представляет собой время обслуживания только что прибывшего клиента.

Обозначим через ш(гл+1) условную плотность вероятности г, где условием служит наличие в обслуживающей системе п клиентов на момент прибытия нового. Поскольку время обслуживания в системе распределено по экспоненциальному закону, который обладает свойством отсутствия последействия (раздел 17.3), величина / также распределена по экспоненциальному закону. Следовательно, г представляет собой сумму п + 1 независимых случайных величин, каждая из которых подчиняется одному и тому же экспоненциальному распределению. Как известно из теории вероятностей, в этом случае функция w(z\ п + 1) будет плотностью вероятности гамма-распределения с параметрами ри п + 1. Отсюда следует, что

Этот пункт можно пропустить без ущерба для понимания дальнейшего материала.



w(t) = ХЧтI п + \)р, = Хц(ц/)е (1-р)р = /1=0 /1=0 !

= (1-р)йе-и-£1-=ц(1-р)в--Ч, т>0. п=о л!

Таким образом показано, что случайная величина г имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием Wt = 1/Д1 - р).

Пример 17.6.3

В модели работы автомойки из примера 17.6.2 вполне обоснованным является предположение о том, что обслуживание выполняется в соответствии с дисциплиной очереди FCFS. Определим надежность использования величины Ws в качестве оценки времени ожидания в системе. Для этого оценим часть клиентов, время ожидания которых превышает Ws. Используя формулу Wt = - р), получаем

P{x>Ws} = \- Цт)Л = е-м(,-р)г- = в1 =0,368.

Следовательно, при дисциплине очереди FCFS для 37 % клиентов время ожидания превысит значение Ws. Этот процент кажется чрезмерно большим, особенно если учесть, что текущее значение Ws для рассматриваемой системы обслуживания также является большим (0,5 часа). Заметим, что найденная вероятность (е 0,368) не зависит от интенсивностей Лир модели (M/M/l): (FCFS/co/co); это в свою очередь означает, что ее величину нельзя уменьшить. Следовательно, если мы проектируем систему на основании средней величины Ws, то следует ожидать, что для 36,8 % клиентов время ожидания превысит среднее время ожидания в системе.

Существует две возможности улучшить ситуацию: 1) увеличить интенсивность обслуживания клиентов р для уменьшения значения Ws до приемлемого уровня или 2) выбрать интенсивность обслуживания клиентов таким образом, чтобы вероятность того, что время ожидания превысит заранее определенную величину (скажем, 10 минут), была меньше приемлемо малой величины (например, 10 %). Первая возможность эквивалентна поиску такого значения р, что Ws <Т , а вторая - вычислению

такого значения р., что Рт > Т \ < а , где Т и а должны определяться пользователем.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.3

1. В условиях упражнения 17.6.2.3 определите вероятность того, что для раскрытия преступления детективу Коломбо потребуется больше одной недели.

2. В примере 17.6.3 вычислите следующее.

a) Среднеквадратическое отклонение для времени гожидания в системе.

b) Вероятность того, что время ожидания в системе изменится на половину среднеквадратического отклонения относительно своего среднего значения.

3. В примере 17.6.3 определите интенсивность обслуживания клиентов р. таким образом, чтобы выполнялось условие Wt < 10 мин.

4. В примере 17.6.3 определите такое значение интенсивности обслуживания клиентов р, при котором будет выполняться условиеР{т> 10 мин.} < 0,1.



5. Вернитесь к упражнению 17.6.2.5. Для привлечения большего числа посетителей администрация ресторана решила предлагать бесплатно порцию прохладительного напитка каждому клиенту, который вынужден ожидать более 5 мин. Если стоимость порции прохладительного напитка равняется 50 центам, то в какую сумму в среднем обойдется ресторану ежедневное угощение прохладительными напитками? Предполагается, что ресторан открыт для клиентов 12 часов в сутки.

6. Покажите, что для модели (М/М/1): (FCFS/co/co) системы обслуживания плотность вероятности времени пребывания клиентов в очереди имеет следующий вид:

Модель (М/М/1): (GD/N/oo). Эта модель отличается от рассмотренной выше только тем, что система вмещает не более N клиентов (максимальная длина очереди равняется N - 1). Примерами обслуживающей системы такого типа служат производственные ситуации, когда станок может иметь ограниченную зону складирования заготовок, а также рестораны быстрого питания с одним пунктом обслуживания клиентов на автомобилях и т.д.

Ситуация в рассматриваемой модели такова, что, как только число клиентов в системе достигает N, ни один из дополнительных клиентов на обслуживание не принимается. Из этого условия следует, что


С помощью этой формулы найдите W .


fin = ju, п = 0, 1, ...

Используя обозначение р = Л/р, имеем


Значение вероятности р0 определяется из уравнения tYip = l которое принимает

я (1


Отсюда получаем


Следовательно,


л = 0, 1, ...,N.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 [ 213 ] 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292