Заметим, что в этой модели значение параметра р = Л/р не обязательно должно быть меньше единицы, так как поступления клиентов в систему контролируются максимальной емкостью системы N. Это значит, что в данном случае в качестве интенсивности поступления клиентов скорее выступает Л, нежели Л. Так как клиенты будут потеряны в том случае, если в системе находится N клиентов, тогда, как показано на рис. 17.5,

потери Рп>

Следует ожидать, что будет меньше р.

Среднее число клиентов в системе вычисляется по формуле

. j о

(i-p)p </fi-p** l-p

p{l-(Af + l)pw+ V+

(1-p)(1-pw*)

При p= 1 Lt = N/2 (проверьте!). Используя значения Lt и A, можно также получить выражения для Wt, Wq и Lq, как это сделано в подразделе 17.6.1.

Использование калькулятора для вычислений по формулам теории массового обслуживания является в лучшем случае громоздким (в последующих моделях формулы еще более сложные!). Поэтому автор рекомендует использовать программное обеспечение TORA (или шаблон Excel chl7PoissonQueues.xls).

Пример 17.6.4

Рассмотрим ситуацию с автомойкой автомобилей из примера 17.6.2. Пусть станция имеет четыре места для стоянки автомобилей. Если все места на стоянке заняты, вновь прибывающие автомобили вынуждены искать другую автомойку. Хозяин хочет определить влияние ограниченного количества мест для стоянки автомобилей на потери клиентов.

В обозначениях, принятых в модели, максимальная вместимость системы равна N- 4 + 1 = 5. Исходными данными для программы TORA являются числа 4, 6, 1, 5 и оо соответственно, а выходные данные представлены на рис. 17.7.

Так как емкость системы равняется N=5, доля потерянных клиентов составляет р5 = 0,04812, что при круглосуточной работе моечной станции эквивалентно потере (Лръ) х 24 = 4 х 0,04812 х 24 = 4,62 автомобилей в день. Решение относительно увеличения количества мест для стоянки автомобилей должно основываться на сумме потерь автомойки.

Анализируя ситуацию с другой стороны, замечаем, что среднее время пребывания клиента в обслуживающей системе = 0,3736 (примерно 22 мин.), т.е. меньше 30 мин., как это было в примере 17.6.3, когда всем прибывающим автомобилям разрешалось встать в очередь. Уменьшение этого показателя обслуживающей системы примерно на 25 % обеспечено за счет потери около 4,8 % потенциальных клиентов из-за ограниченного количества мест на стоянке автомобилей.

Title: Example 17.6-4

Scenario 1- (М/М/1 ):(GD/5/infinity)

Lambda = 4,00000 Lambda eff = 3,80752

Ls= 1,42256 Ws = 0,37362

Mu = 6,00000

Rho/c = 0,66667

Lq = 0,78797

Wq = 0,20695

n Probability, pn Cumulative, Pn 0 0,36541 0,36541

0.24361 0.16241

0,60902 0,77143

n Probability, pn Cumulative, Pn 3 0,10827 0,87970

0,07218 0,04812

0,95188 1,00000

Рис. 17.7. Выходные результаты TORA для примера 17.6.4

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.4

1. В примере 17.6.4 определите следующие величины.

a) Вероятность того, что прибывший автомобиль сразу же попадет в моечный бокс.

b) Среднее время ожидания клиентов до начала обслуживания.

c) Среднее количество свободных мест на стоянке автомобилей.

d) Вероятность того, что все места на стоянке автомобилей заняты.

e) Уменьшение (в процентах) среднего времени обслуживания клиентов при уменьшении среднего времени пребывания клиента в системе примерно до 10 мин. (Совет. Используйте метод проб и ошибок в работе с программой TORA для решения этого упражнения.)

2. Рассмотрите ситуацию с автомойкой из примера 17.6.4. Определите такое количество мест для стоянки автомобилей, при котором процент автомобилей, которые не могут найти место на стоянке, ограничен значением 1 %.

3. Парикмахер Иосиф обслуживает клиентов в соответствии с экспоненциальным распределением со средним значением 12 мин. Иосиф очень популярен среди клиентов, поэтому они прибывают (в соответствии с распределением Пуассона) с интенсивностью, намного большей, чем он может обслужить (шесть клиентов в час). На самом деле парикмахеру хотелось бы, чтобы интенсивность поступления клиентов уменьшилась примерно до четырех клиентов в час. Поэтому он пришел к мысли ограничить количество стульев в зале ожидания, чтобы вновь прибывающие клиенты, обнаружив, что все стулья заняты, уходили в поисках иного обслуживания. Сколько стульев следует Иосифу разместить в зале ожидания, чтобы реализовать свой план?

4. Конечная сборка электрических генераторов на электропредприятии проходит в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 10 генераторов в час. Затем генераторы с помощью ленточного конвейера транспортируются в отдел технического контроля для испытаний. На конвейере может находиться

л 0 1 2 3 4 5

р 0,399 0,249 0,156 0,097 0,061 0,038

Интенсивность Я поступления клиентов равняется пяти клиентам в час. Интенсивность обслуживания клиентов равняется восьми клиентам в час.

a) Вычислите вероятность того, что очередной клиент сможет попасть в систему обслуживания.

b) Вычислите интенсивность, при которой прибывающие клиенты не смогут попасть в систему обслуживания.

c) Вычислите среднее число клиентов в обслуживающей системе.

d) Вычислите среднее время ожидания клиентов в очереди.

8. Покажите, что при р = 1 в модели (М/М/1): (GD/iV/co) среднее число клиентов в системеЬа равно N/2. (Подсказка. 1 + 2 + ... + i = i(i + 1)/2.)

9. Покажите, что Я в модели (М/М/1): (GD/N/x) можно вычислить по формуле я,фф = А1*, - Lq).

максимум 7 генераторов. Электронный датчик автоматически останавливает конвейер, как только он заполнен, прекращая таким образом работу сборочного цеха до появления свободного места на конвейере. Время проверки генераторов имеет экспоненциальное распределение со средним значением 15 мин.

a) Какова вероятность того, что сборочный цех прекратит сборку генераторов?

b) Чему равняется среднее количество генераторов на конвейере?

c) Инженер утверждает, что перерывы в работе сборочного цеха можно уменьшить, увеличив производительность конвейера до такого уровня, который обеспечивает сборочному цеху возможность работать 95 % времени без перерывов. Обосновано ли такое утверждение?

5. В кафетерии имеется не более 50 мест. Посетители прибывают в соответствии с пуассоновским распределением с интенсивностью 10 человек в час и обслуживаются (каждый в отдельности) с интенсивностью 12 человек в час.

a) Какова вероятность того, что очередной посетитель не сможет пообедать в кафетерии из-за нехватки свободных мест?

b) Предположим, что три посетителя кафетерия (каждый из которых прибывает случайным образом) хотели бы сидеть за одним столиком. Какова вероятность того, что их желание может быть выполнено? (Здесь предполагается, что всегда есть возможность посадить упомянутых посетителей вместе, если в кафетерии имеется больше трех свободных мест.)

6. Пациенты прибывают в клинику в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 20 пациентов в час. В комнате ожидания могут разместиться не больше 14 человек. Время осмотра клиентов является экспоненциально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 8 мин.

a) Какова вероятность того, что очередной пациент не будет ожидать?

b) Какова вероятность того, что очередной пациент найдет свободный стул в комнате ожидания?

c) Каково среднее время пребывания пациента в клинике?

7. Ниже приведены значения вероятностей рп нахождения п клиентов в обслуживающей системе модели (М/М/1): (GD/5/оо).