Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [ 215 ] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

17.6.3. Модели с параллельными сервисами

В этом разделе рассматриваются три модели систем массового обслуживания с несколькими параллельно работающими средствами обслуживания (сервисами). Первые две модели представляют собой обобщение моделей, рассмотренных в подразделе 17.6.2, для ситуации нескольких параллельно работающих сервисов. В третьей модели рассматривается бесконечное количество параллельно работающих сервисов.

Модель (М/М/с): (GD/oo/oo). Эта модель предусматривает работу с параллельных средств обслуживания. Интенсивность входного потока клиентов равна Я, а интенсивность обслуживания клиентов - /и для каждого сервиса. Поскольку отсутствуют ограничения на количество клиентов в системе, то Я = Я.

Результатом использования с параллельных сервисов является пропорциональное увеличение интенсивности обслуживания клиентов системой до пр, если п < с, и до ср., если п > с. Следовательно, в терминах общей модели системы обслуживания (раздел 17.5) Ял и jun определяются следующим образом.

Я = Я, л>0,

[пр, п < с.

ср., п > с.

Следовательно,

p(2u)(3u)...(nu) ° л!и ° п\

п<с,

u(2u)...(c-l)u(cu)

c7jPo:

-7Ро=-Г7Ро, >с-

Значение вероятности р0 определяется из уравнения ZIoA=l- Если р=Я/р, а р/с < 1, приходим к следующей формуле для р0:

- р рс( 1

Z-+-

й ! с!

V с)

Выражение для L можно найти следующим образом.

<1.

Г ГА САГ к .г. V Г

i=0 с~с\ с\с-0 \с) 0 (с 1)!(с рУ

Поскольку Я = Я, то Lt = Lq + р; значения для Wt и W? можно найти, разделив на Л значения L, и L.

Пример 17.6.5

В небольшом городке функционируют две службы такси. Каждая из них располагает двумя автомобилями, и по имеющейся информации заказы на обслуживание делятся службами практически поровну. Это подтверждается тем фактом, что заказы в диспетчерские отделения обеих служб поступают с одной и той же интенсивностью, равной 8 вызовам в час. Среднее время выполнения одной заявки составляет 12 минут.



УПРАЖНЕНИЯ 17.6.5

1. В примере 17.6.5 определите следующие параметры.

a) Вероятность того, что все автомобили в каждой из двух служб такси находятся на вызове.

b) Вероятность того, что все такси в объединенной компании будут на вызове.

c) Среднее количество свободных такси в каждой из двух моделей.

d) Количество машин, которое следует иметь объединенной компании для того, чтобы время ожидания клиентом приезда автомобиля по вызову составляло не более пяти минут.

2. В примере 17.6.5 предположите, что среднее время обслуживания клиента фактически равняется 14,5 мин., так что коэффициент загруженности автомобилей

Заявки на обслуживание поступают в соответствии с распределением Пуассона, а время обслуживания клиентов распределено по экспоненциальному закону. Недавно обе службы были приобретены инвестором, который заинтересован в их объединении с единым диспетчерским пунктом для обеспечения более быстрого обслуживания клиентов. Необходимо проанализировать предложения нового хозяина.

С точки зрения теории массового обслуживания такси представляют собой обслуживающие устройства, а вызов такси является сервисом. Каждая служба такси может быть представлена моделью (М/М/2): (GD/oo/oo) с Я = 8 вызовов в час и ц = = 60/12 = 5 поездок на одно такси в час. Объединение служб такси приведет к модели (Л Л 4): (GD/oo/oo) сЯ=2х8=16 вызовов в час и /и = 5 поездок на одно такси в час.

Подходящей мерой для сравнения двух моделей обслуживания является среднее время ожидания клиентом такси от момента его вызова до момента прибытия автомобиля, т.е. Wq. На рис. 17.8 представлены выходные данные программы TORA для двух описанных моделей. Результаты показывают, что время ожидания клиентом приезда автомобиля равняется 0,356 ч (примерно 21 мин.) для модели обслуживания с двумя таксомоторными службами и 0,149 ч (примерно 9 мин.) для модели обслуживания в объединенном варианте. Значительное уменьшение (более чем на 50 %) функционального показателя рассмотренной обслуживающей системы делает очевидной целесообразность объединения двух служб такси.

Title: Example 17.6-5

Comparative Analysis

Scenario с Lambda Mu Ldaeff pO Ls Lq Ws Wq

1 2 8,00000 5,00000 8,00000 0,11111 4,44444 2,84444 0,55556 0,35556

2 4 16,00000 5,00000 16,00000 0,02730 5,58573 2,38573 0,34911 0,14911

Рис. 17.8. Результаты расчетов в программе TORA для примера 17.6.5

Из приведенного анализа следует, что объединение систем обслуживания всегда обеспечивает более эффективный режим работы. Этот вывод остается справедливым даже в том случае, когда загруженность всех сервисов очень высока.



(= Л/jjc) для режимов работы с двумя и четырьмя такси возрастает до 96 % и более. Имеет ли смысл при этих условиях объединять две компании в одну?

3. Определите минимальное количество сервисов в каждой из следующих ситуаций (предполагается пуассоновское распределение поступления клиентов и обслуживания), которое гарантирует стационарный режим работы системы массового обслуживания (в этом случае длина очереди не будет неограниченно возрастать).

a) Клиенты прибывают каждые 5 мин., а обслуживаются с интенсивностью 10 клиентов в час.

b) Среднее время между последовательными прибытиями клиентов равняется 2 мин., а среднее время обслуживания - 6 мин.

c) Интенсивность входного потока - 30 клиентов в час, а интенсивность обслуживания одним сервисом - 40 клиентов в час.

4. Посетители прибывают в банк в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 45 клиентов в час. Длительность деловых операций с одним клиентом имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием примерно пять минут. Банк планирует использовать од-ноканальный многокассовый режим работы, подобный тем, которые применяются в аэропортах и почтовых отделениях.3 Управляющий отдает себе отчет в том, что клиенты могут обратиться в другие банки, если они чувствуют, что их ожидание в очереди является чрезмерным . Поэтому управляющий хочет уменьшить среднее время ожидания в очереди до 30 секунд, не более. Сколько кассиров должен иметь банк?

5. В ресторане быстрого питания работают три кассира. Посетители прибывают в ресторан в соответствии с распределением Пуассона каждые три минуты и образуют одну очередь, чтобы быть обслуженным первым освободившимся кассиром. Время до момента размещения заказа экспоненциально распределено со средним, равным примерно пяти минутам. Вместимость зала ожидания внутри ресторана ограничена. Однако ресторан имеет хорошую кухню и при необходимости посетители готовы выстраиваться в очередь и вне ресторана. Определите размер зала ожидания внутри ресторана, кроме мест возле касс, таким образом, чтобы с вероятностью не менее 0,999 следующий посетитель не ожидал обслуживания вне ресторана.

6. Небольшое почтовое отделение имеет два обслуживающих окна. Клиенты прибывают на почтовое отделение в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 1 клиент в каждые три минуты. Однако лишь 80 % из них нуждаются в обслуживании возле окон. Время обслуживания клиента подчиняется экспоненциальному закону со средним значением 5 минут. Все прибывающие клиенты образуют одну очередь и подходят к свободному окну по принципу первым пришел - первым обслуживаешься .

a) Какова вероятность того, что очередной клиент будет ожидать в очереди?

b) Какова вероятность того, что оба обслуживающих окна свободны?

c) Какова средняя длина очереди?

d) Можно ли предложить приемлемое обслуживание лишь с одним окном? Приведите аргументы.

3 Здесь имеется в виду, что есть одна очередь, но клиенты обслуживаются несколькими сервисами (в данном примере сервисы - это кассы). - Прим. ред.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [ 215 ] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292