7. Вычислительный центр университета состоит из четырех одинаковых больших ЭВМ коллективного пользования. Число работающих в центре пользователей в любой момент времени равно 25. Каждый пользователь готовит свою программу для ее машинной реализации через терминал, куда она сразу же передается. Время подготовки программ имеет экспоненциальное распределение со средним значением 15 мин. Поступающие программы автоматически размещаются для реализации на первую свободную ЭВМ. Время выполнения программы имеет экспоненциальное распределение со средним значением 2 мин. Вычислите следующие показатели.

a) Вероятность того, что программа не будет выполнена сразу же, как только она поступила на терминал.

b) Среднее время до получения пользователем результатов машинной реализации программы.

c) Среднее количество программ, ожидающих машинной реализации.

d) Процент времени, когда все ЭВМ вычислительного центра свободны.

e) Среднее количество свободных ЭВМ.

8. Аэропорт обслуживает пассажиров трех категорий: городских жителей, жителей пригородов и транзитных пассажиров. Прибытие в аэропорт пассажиров всех трех категорий во времени происходит в соответствии с распределением Пуассона со средней интенсивностью 15, 10 и 7 пассажиров в час соответственно. Время регистрации пассажиров подчиняется экспоненциальному распределению с математическим ожиданием 6 мин. Определите количество стоек для регистрации пассажиров, которыми должен располагать аэропорт в каждом из следующих случаев.

a) Среднее время пребывания пассажира в режиме ожидания и регистрации не должно превышать 15 мин.

b) Процент свободных регистрационных стоек не превышает 10 %.

c) Вероятность того, что все регистрационные стойки свободны, не превышает 0,01.

9. Для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы Морс (Morse) [3] показал, что при условии р/с -> 1 L = р/(с - р). Используя эту информацию, покажите, что отношение среднего времени ожидания в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) к аналогичному параметру в модели (М/М/1): (GD/oo/oo) стремится к 1/с при р/с-> 1. Следовательно, при с = 2 среднее время ожидания может быть уменьшено на 50 %. Из этого следует вывод, что объединение систем обслуживания целесообразно всегда.

10. В процедуре вывода формулы для вероятности рп в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) укажите, какая ее часть требует условия р/с < 1. Объясните значение этого условия. Что произойдет, если это условие не будет выполнено?

11. Используя формулу Lq =*е](п - с) рп , докажите, что Ls=Lq+c, где с - среднее количество работающих сервисов. Далее покажите, что с = Я/р.

12. Покажите, что формулу для вероятностей рп в модели (М/М/1): (GD/oo/oo) можно получить из аналогичной формулы для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) при с = 1.

13. Покажите, что в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) имеет место следующая формула:

14. Покажите, что для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы справедливы следующие утверждения.

a) Вероятность того, что клиент ожидает, равняетсярср/(с - р).

b) Если имеется очередь, то ее средняя длина равна с/(с - р).

c) Среднее время ожидания в очереди тех клиентов, которые вынуждены ждать, равно 1/р(с - р).

15. Покажите, что для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы плотность вероятности времени ожидания в очереди имеет следующий вид:

(с-Щс-р)

пру -р)г п г>0

1Т]ГА г>0-

(Совет. Преобразуйте систему обслуживания с с каналами в эквивалентную одноканальную, для которой

P{t >Т} = Pmint, > г} = [е- Т)с =е~\

где t - время обслуживания в эквивалентной одноканальной системе обслуживания.)

16. Докажите, что если плотность вероятности wq(T) задается формулой из предыдущего упражнения, то

Р{Т>у}=Р{Т>0}еЛ)у,

где Р{Т > 0} - вероятность того, что поступающий в систему клиент будет ждать обслуживания.

17. Докажите, что в модели (М/М/с): (FCFS/oo/oo) системы обслуживания плотность вероятности времени ожидания клиента в очереди имеет вид

-(т) = ре- + У {-!- - в-*-* 1А. г > 0. (с-1)!(с-р-1) [с-р J

(Подсказка. Распределение случайной величины г представляет собой свертку распределений времени ожидания в очереди Т (см. упражнение 15) и времени обслуживания.)

Модель (М/М/с) : (GD/JV/oo), c<N. Эта модель обслуживающей системы отличается от модели (М/М/с): (GD/oo/oo) тем, что емкость системы ограничена сверху значением N (тогда максимальная длина очереди равна N - с). Интенсивности поступления и обслуживания клиентов равны Я и р. соответственно. Эффективная интенсивность поступления заявок в систему обслуживания Я меньше Я в силу ограниченности емкости системы значением N.

Параметры Я и рп общей модели обслуживающей системы в данной модели определяются следующим образом:

[\, 0<n<N,

I иц, 0 < п < с, и. = <

[cu, c<n<N.

Подставляя Яп и рп в общее выражение для рп из раздела 17.5 и используя обозначение р = X/р, получаем

г л

о < п < с.

-р , c<n<N,

Iе1-

с! 1-1

= 1.

Далее мы вычисляем L для ситуации, когда р/с * 1:

сс! JP}7T0\c

(с-1)!(с-р)-

(N-c + \)\ 1

Можно также показать, что для ситуации, когда р/с = 1, выражение для Lq имеет следующий вид:

p(N-c){N-c + \) р 2с! Ро с

Для определения W и, следовательно, W, и необходимо получить выражение для Я. Поскольку ни один клиент не может попасть в систему после того, как достигнут лимит TV по ее вместимости, то

Атотери дрлг>

Л*ф = Я~ Потери = С1 -рлгм-

Пример 17.6.6

Пусть в задаче, связанной с объединением служб такси, которая рассматривалась в примере 17.6.5, известно, что объединенная служба такси не имеет финансовых возможностей для покупки новых автомашин. Друг нового хозяина советует информировать пассажиров о возможных задержках с прибытием заказанной автомашины, как только список ожидающих клиентов достигает шести. Эта мера, несомненно, заставит новых клиентов искать обслуживания в другом месте, что уменьшит время ожидания тех клиентов, которые уже ожидают в очереди. Необходимо узнать, насколько полезным является совет друга.