Ограничение списка ожидающих в очереди до 6 клиентов равносильно тому, что емкость системы становится равной 7v = 6 + 4= 10 клиентов. Следовательно, мы имеем дело с системой обслуживания модели (М/М/4): (GD/10/по) с Л = 16 клиентов в час и ju= 5 поездок в час. На рис. 17.9 представлены выходные данные, полученные с помощью программы TORA для этой модели.

Title: Example 17.6-6

Scenario 1- (M/M/4):(GD/10/infinity)

Lambda = 16,00000 Mu= 5,00000

Lambda eff = 15,42815 Rho/c = 0,80000

Ls= 4,23984 Lq= 1,15421

Ws= 0,27481 Wq= 0,07481

Рис. 17.9. Выходные результаты программы TORA для примера 17.6.6

Среднее время ожидания Wq при отсутствии ограничения на емкость системы равняется 0,149 ч (я 9 мин.) (см. рис. 17.8), что почти в два раза больше значения 0,075 ч ( 4,5 мин.) м- аналогичного показателя при наличии ограничения на емкость системы. Это существенное уменьшение функциональной характеристики системы достигнуто за счет потери примерно 3,6 % потенциальных клиентов. Этот результат, однако, не отражает возможной потери расположения клиентов к деятельности службы такси.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.6

1. В примере 17.6.6 определите следующие показатели.

a) Среднее количество свободных такси.

b) Вероятность того, что клиент, вызывающий такси, будет последним из тех, кто ставится в очередь.

c) Максимальное число ожидающих в очереди клиентов при условии, что время ожидания не превышает трех минут.

2. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 мин. Определите следующие величины.

a) Процент автомобилей, которые будут искать другую заправку.

b) Процент времени, когда используется только один из насосов.

c) Процент времени использования двух насосов.

d) Вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди.

e) Емкость очереди, которая обеспечит потерю в среднем не более 10 % потенциальных клиентов.

f) Емкость очереди, при которой вероятность того, что оба насоса свободны, не превышает 0,05.

3. В небольшой ремонтной мастерской работают три механика. В начале марта каждого года клиенты приносят в мастерскую свои культиваторы и газонокосилки для ремонта и технического обслуживания. Мастерская стремится принять все, что приносят клиенты. Однако когда очередной клиент видит на полу мастерской массу механизмов, ожидающих обслуживания, он уходит в другое место в поисках более быстрого обслуживания. На полу мастерской размещается не более 15 культиваторов или газонокосилок, не учитывая тех, которые уже ремонтируются. Клиенты прибывают в мастерскую в среднем каждые 10 мин., а механик тратит на один ремонт в среднем 30 мин. Как время между последовательными приходами клиентов, так и время выполнения работы подчиняются экспоненциальному распределению. Определите следующие величины.

a) Среднее число незанятых механиков.

b) Число потерянных потенциальных клиентов на протяжении десятичасового рабочего дня по причине ограниченной емкости мастерской.

c) Вероятность того, что следующий клиент будет обслужен в мастерской.

d) Вероятность того, что по крайней мере один механик будет свободен.

e) Среднее количество культиваторов и газонокосилок, которые ожидают обслуживания.

f) Показатель общей производительности мастерской.

4. Студенты первого курса одного из американских университетов приезжают на лекции на своих автомобилях (даже несмотря на то, что большинство из них нуждаются в проживании на территории университета и могут пользоваться удобной университетской бесплатной транспортной системой). На протяжении первых двух недель осеннего семестра на университетской территории преобладает беспорядок в транспортном движении, так как первокурсники отчаянно пытаются найти места для стоянки автомашин. С необычной самоотверженностью студенты терпеливо ожидают на пешеходных дорожках возле стоянок для автомашин, когда кто-нибудь заберет свою автомашину, чтобы можно было поставить на стоянку свои авто. Рассмотрим следующий характерный сценарий. Автостоянка имеет 30 мест, но может также расположить

еще 10 автомашин на пешеходных дорожках. Эти 10 автомашин не могут постоянно оставаться на пешеходных дорожках и должны ожидать, пока хоть одно место на стоянке освободится. Первокурсники прибывают к автостоянке в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 20 автомашин в час. Время пребывания автомашины на стоянке подчиняется экспоненциальному распределению со средним значением примерно 60 минут.

a) Каков процент первокурсников, вынужденных повернуть обратно по той причине, что они не смогли поставить автомашину на стоянку?

b) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль будет ожидать на пешеходной дорожке?

c) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль займет единственное оставшееся место на стоянке?

d) Определите среднее количество занятых мест на стоянке.

e) Определите среднее количество занятых мест на пешеходных дорожках.

f) Определите среднее число первокурсников, которые не попадут на лекции на протяжении восьмичасового периода, так как стоянка будет занята.

5. Проверьте правильность формулы для р0 в модели (М/М/с): (GD/iV/oo) для случая, когда р/с Ф 1.

6. Для модели (М/М/с): (GD/iV/oo) докажите равенство \т = цс, где с - среднее количество занятых сервисов.

7. Проверьте правильность формул для р0 и Lg в модели (M/M/c):(GD/N/x>) для случая, когда р/с = 1.

8. Для модели (М/М/с): (GD/iV/oo) при N = с из соотношений для общей модели (раздел 17.5) определите Лп и рп, затем покажите, что формула для рп имеет такой вид:

Модель самообслуживания (М/М/<я): (GD/oo/oo). В этой модели количество сервисов является неограниченным, так как клиент выступает одновременно и в роли сервиса. Типичным примером модели самообслуживания является сдача письменной части экзамена на право вождения автомобиля. Газозаправочные станции автомобилей с самообслуживанием и банковские автоматы с 24-часовым режимом работы не вписываются в рассматриваемую здесь модель, так как обслуживающими устройствами в этих случаях являются, по существу, насосы и банковские автоматы соответственно.

В рассматриваемой модели предполагается, что интенсивность поступления клиентов Я является постоянной. Интенсивность обслуживания р также является постоянной. Воспользовавшись общей моделью из раздела 17.5, имеем

Р = - Pt = 1.2, с,

Ял = Я, п = 0, 1, 2, р = пр, п = 0,1, 2, ...