Таким образом,

Р =

Из равенства = 1 следует, что

Ро =

1 +P + -+ ... 2!

В результате получаем

Р, =

, и = 0, 1,2, ...

Эти вероятности совпадают с вероятностями распределения Пуассона с математическим ожиданием Ьа = р. Как и следовало ожидать, здесь (по принципу самообслуживания) Lq = W = 0.

Инвестор вкладывает 1000 долл. в месяц в специальный тип облигаций фондовой биржи. Так как инвестор должен ждать возможности хорошей покупки , фактическое время совершения этой покупки является случайным. Инвестор обычно держит облигации в среднем три года, но продаст их в случайный момент времени, когда представится такая возможность. Хотя инвестор известен как хитрый биржевой игрок, опыт прошлого показывает, что около 25 % облигаций теряют в цене примерно 20 % в год. Остальные 75 % облигаций повышаются в цене примерно на 12 % в год. Оценим среднюю стоимость акций инвестора на протяжении длительного периода.

Эту ситуацию можно представить в виде модели (М/М/ю): (GD/oo/oo), так как инвестор не должен ждать в очереди, чтобы купить или продать облигации. Среднее время между размещениями заказа равняется 1 месяц, что дает значение Я = 12 облигаций в год. Интенсивность продажи облигаций равна р = 1/3 облигаций в год.

При указанных значениях Я и получаем

Средняя годовая стоимость облигаций инвестора на протяжении длительного периода оценивается следующей величиной:

Пример 17.6.7

Ls = р = - = 36 облигаций.

(0,25Isx 1000)(1 -°,20) +(0,751, х 1000)(1 + 0,12) = 37 440 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.7

1. В примере 17.6.7 вычислите следующие показатели.

a) Вероятность того, что инвестор продаст все свои облигации.

b) Вероятность того, что инвестор будет иметь больше 10 облигаций.

c) Вероятность того, что инвестор будет иметь от 30 до 40 облигаций.

d) Оцените среднюю стоимость акций инвестора на протяжении длительного периода, если только 10 % облигаций теряют в цене 30 % в год, а остальные 90 % повышаются в цене на 15 % в год.

2. Новые водители перед тем, как им выдадут задание по дорожному вождению, должны сдать письменную часть (тесты) экзамена на право вождения автомобиля. Эти тесты обычно проводятся городским управлением полиции. Статистика показывает, что среднее количество письменных тестов за 8-часовой день равняется 100. Среднее время, необходимое для выполнения теста, равно примерно 30 мин. Однако фактическое прибытие каждого экзаменующегося и время, которое он тратит на сдачу экзамена, являются случайными величинами. Необходимо определить следующее.

a) Среднее количество посадочных мест в зале для сдачи экзамена, которое должно обеспечить управление полиции.

b) Вероятность того, что число экзаменующихся превысит среднее количество посадочных мест в зале для сдачи экзамена.

c) Вероятность того, что в какой-нибудь день не будет проведено ни одного экзамена.

3. Покажите (используя программное обеспечение TORA), что для малого параметра р=0,1 значения величин Wt, Ls, W, Lq и pn в модели (М/М/с): (GD/oo/cc) при с > 4 сервисов можно надежно оценить с помощью менее громоздких формул для модели (М/М/ю): (GD/oo/oo).

4. Повторите предыдущее упражнение для значения р=9 и покажите, что в этом случае значение с должно быть больше 20. Какой общий вывод можно сделать относительно использования модели (М/М/оо): (GD/oo/oo) для оценки показателей модели (М/М/с): (GD/oo/oo), исходя из результатов, полученных в упражнениях 3 и 4?

17.6.4. Модель (MIMIR): (GD/КУК) при R < К

Базовым примером для этой модели является цех, насчитывающий К станков. Всякий раз, когда станки выходят из строя, прибегают к услугам одного из механиков, бригада которых состоит из R человек. Интенсивность поломок, отнесенная к одному станку, равняется Л поломок в единицу времени. Механик ремонтирует сломанные станки с интенсивностью станков в единицу времени. Предполагается, что моменты времени поломок и время ремонта подчиняются распределению Пуассона.

Эта модель отличается от всех рассмотренных ранее тем, что мощность источника, генерирующая клиентов , конечна. Например, в модели цеха источник может породить конечное количество заявок на ремонт. Это положение становится очевидным, если предположить, что все станки в цехе сломаны, тогда больше не поступит ни одной заявки на ремонт. По существу, лишь работающие станки могут сломаться и, следовательно, генерировать заявки на ремонт.

При заданной интенсивности Л поломок на один станок интенсивность поломок во всем цехе пропорциональна количеству станков в рабочем состоянии. В терминологии систем обслуживания наличие п станков в системе означает, что п станков сломаны. Следовательно, интенсивность поломок во всем цехе вычисляется так:

Лп = (К-п)Л, 0<п<К.

В обозначениях общей модели системы обслуживания из раздела 17.5 имеем следующее:

\(К-п)К 0<п<К,

п>К,

/;ц, 0 < п < R, Ru, R<n<K, О, п > К.

Теперь из общей модели можно получить (проверьте!) следующие формулы:

С;Р>0, 0<n<R,

Q-ТРо. Rn < К,

A,={§QP + §,Q

В этой модели трудно получить в замкнутой форме выражение для Ls или Lq, и, следовательно, они должны вычисляться в соответствии с их определением:

Значение Яэфф можно определить в следующей форме:

A = M{A(K-n)} = A(K-L). Используя формулы из подраздела 17.6.1, можно вычислить оставшиеся функциональные показатели W , W и L .

Пример 17.6.8

Компания располагает цехом, насчитывающим 22 станка. Известно, что каждый станок выходит из строя в среднем один раз в два часа. На его ремонт уходит в среднем 12 мин. Как время между поломками станков, так и время, необходимое для ремонта, являются экспоненциально распределенными случайными величинами. Компания заинтересована в определении минимального числа механиков, необходимых для обеспечения плавной работы цеха.

Описанную ситуацию можно проанализировать, исследуя производительность станков как функцию числа механиков. Такая мера производительности может быть определена в следующем виде.

(Производительность Количество станков-сломанные станки ,

=-хЮ0 =

станков ) Количество станков

22 -L

=-*-xl00.

На рис. 17.10 представлены полученные с помощью программы TORA сравнительные характеристики обслуживающей системы для R = 1, 2, 3,4 при А = 0,5 поломки в час на один станок и /j = 5 ремонтов в час. Соответствующие значения производительности представлены в следующей таблице.