Приведенные результаты показывают, что неприемлемым является наличие лишь одного механика, так как в этом случае будет очень низкая производительность (45,44%). Если число механиков увеличивается до двух, то производительность станков возрастает на 34,71 % и достигает 80,15 %. При работе трех механиков производительность станков возрастает примерно на 8,64 % и достигает значения 88,79 % , в то время как при наличии четырех механиков производительность возрастает лишь на 1,66 % и достигает значения 90,45 %.

Судя по этим результатам, использование двух механиков может быть оправданным. Ситуация с тремя механиками является не такой убедительной, так как производительность при этом возрастает лишь на 8,64 %. Возможно, что сравнение в денежном эквиваленте содержания третьего механика и прибыли, обусловленной ростом производительности станков, на 8,64 % можно использовать для решения этого вопроса (см. раздел 17.10, где рассматриваются стоимостные характеристики модели). Что касается приема на работу четвертого механика, то скудный рост производительности станков на 1,66 %, который при этом достигается, не оправдывает данного шага.

Title: Example 17.6-8

Comparative Analysis

Рис. 17.10. Сравнительные характеристики системы из примера 17.6.8, полученные с помощью программы TORA

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.8

1. В примере 17.6.8 выполните следующее.

a) Проверьте значения величин Яэфф, которые приведены в листинге на рис. 17.10.

b) Подсчитайте среднее число свободных механиков при R = 4.

c) Вычислите вероятность того, что все механики свободны при R = 3.

d) Вычислите вероятность того, что большинство механиков свободны при R= 3 иR= 4.

2. В примере 17.6.8 определите и затем вычислите производительность работы механиков при R= 1, 2, 3, 4. Используйте эту информацию вместе с показателем производительности станков для решения вопроса о количестве механиков, которых компании следует принять на работу.

3. В вычислениях, которые приведены в листинге на рис. 17.10, может вызвать недоумение то обстоятельство, что средняя интенсивность поломки станков в цехе Яэфф увеличивается с ростом R. Объясните, почему следует ожидать увеличения Яэфф.

4. Оператор обслуживает пять автоматических станков. После того как каждый станок завершает выполнение пакета программ, оператор должен его перенастроить на выполнение нового пакета. Время выполнения пакета программ является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением 45 мин. Время наладки также описывается экспоненциальным распределением с математическим ожиданием 8 мин.

a) Определите среднее количество станков, которые ожидают наладки.

b) Вычислите вероятность того, что все станки работают.

c) Определите среднее время простоя станка.

5. Обслуживающая фирма выполняет разнообразные работы, такие как уборка в саду, хозяйственные работы, подрезка деревьев и покраска домов. Четыре сотрудника фирмы оставляют контору, каждый получив свое первое задание. После выполнения задания сотрудник может позвонить в контору и получить информацию относительно следующей заявки. Время выполнения задания имеет экспоненциальное распределение со средним значением 45 мин. Время переезда между последовательными работами также имеет экспоненциальное распределение со средним значением 20 мин.

a) Определите среднее число сотрудников фирмы, которые перемещаются между последовательными работами.

b) Вычислите вероятность того, что нет ни одного сотрудника в процессе перемещения.

6. После долгого ожидания, благодаря чудесам медицины, семья Ньюборнов была вознаграждена рождением пяти близнецов: двух мальчиков и трех девочек. На протяжении пяти первых месяцев жизнь малышей состояла из двух состояний: бодрствующего (и, в основном, с криком) и спящего. По словам Ньюборнов, эти состояния для малышей никогда не совпадают и проявляются совершенно случайно. На самом деле госпожа Ньюборн, статистик по профессии, считает, что время, когда каждый из малышей кричит, экспоненциально распределено со средним значением 30 мин. Время сна каждого малыша также является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением 2 часа. Определите следующее.

a) Среднее число малышей, которые бодрствуют в некоторый момент времени.

b) Вероятность того, что все малыши спят.

c) Вероятность того, что Ньюборны не будут счастливы по той причине, что бодрствующих малышей (которые при этом кричат) больше, чем спящих.

7. Проверьте корректность выражения для вероятностей рп в модели (M/M/R): (GD/K/K).

8. Покажите, что интенсивность поломок в цехе можно вычислить по формуле тФФ = Ц> гДе R - среднее число занятых механиков.

9. Проверьте следующие формулы для ситуации, когда работает один механик (Д=1):

Рп =

(К-п)\

17.7. МОДЕЛЬ (M/G/1): (GD/oo/oo). ФОРМУЛА ПОЛЛАЧЕКА-ХИНЧИНА

Анализ моделей массового обслуживания, в которых входные и выходные потоки не подчиняются пуассоновскому распределению, весьма сложен. Вообще в таких случаях в качестве альтернативного аппарата для анализа моделей обслуживания целесообразно использовать методы имитационного моделирования (см. главу 18).

В этом разделе рассматривается один из немногих вариантов системы массового обслуживания, не подчиняющейся пуассоновскому распределению, для которого могут быть получены аналитические результаты. Речь идет о том случае, когда время обслуживания t имеет произвольное распределение с математическим ожиданием M{t] и дисперсией D{t}. Для такой модели известны аналитические формулы для основных функциональных характеристик обслуживающей системы, таких как La, Lq, Ws и W . Однако в силу аналитических трудностей невозможно получить в замкнутой форме выражения для вероятностей рп.

Пусть Я - интенсивность поступления клиентов в системе обслуживания с одним сервисом. При заданных значениях M{t) и D{t) для времени обслуживания и условии AM{t} < 1 с использованием сложного анализа, связанного с применением аппарата цепей Маркова, можно показать, что4

Поскольку Яэфф = Я, то остальные функциональные характеристики обслуживающей системы (Lq, Wt и W ) можно получить из формулы для Ls, как это сделано в разделе 17.6.1.

В шаблоне Excel chl7PKFormula.xls автоматизирован процесс вычислений по этим формулам.

Пример 17.7.1

Пусть в задаче об автомойке из примера 17.6.2 сделано дополнительное предположение, что установлено новое оборудование, поэтому время обслуживания для всех автомобилей является постоянным и равным 10 мин. Как новое оборудование влияет на функционирование автомойки?

Вероятность, что сервис будет незагруженным, вычисляется как

Po = l-AM{t} = l-p.

4 Данная формула, собственно, и называется формулой Поллачека-Хинчина. -

Прим. ред.