минимальное и максимальное значения интервала изменений величины правой части первого неравенства равны соответственно 4,8 и 12 млн. долл.

b) Предположим, что банк решил вложить все 12 млн. долл. в сельскохозяйственные и коммерческие кредиты. Вычислите чистую прибыль банка.

c) Предположим, что объем капитала, предназначенного для инвестиций, возрос до 20 млн. долл., а лимит на сельскохозяйственные и коммерческие кредиты увеличился до 9 млн. долл. Будет ли новое оптимальное решение включать только кредиты на покупку жилья и коммерческие кредиты? Найдите это новое оптимальное решение.

2. Вернитесь к примеру 2.5.2 (модель освоения и использования земли). Предположим, что компания Birdeyes может купить дополнительные 100 акров земли за 450 ООО долл. Используя результаты анализа чувствительности по этой задаче (см. рис. 2.20), подскажите компании, стоит ли покупать эту землю.

3. Вернитесь к задаче из примера 2.5.3 (составление расписания движения автобусов). На основе оптимального решения, представленного на рис. 2.22, определите оптимальное количество используемых автобусов, предполагая, что минимальные потребности в автобусах для шести 4-часовых периодов (см. рис. 2.22) составляют, во-первых, (4, 12, 10, 7, 12, 4) и, во-вторых, (4, 8, 7, 7, 12, 4).

4. Вернитесь к примеру 2.5.4 (задача минимизации потерь при разрезании рулонов бумаги) и ее оптимальному решению, показанному на рис. 2.24.

a) Определите потери бумаги при разрезании 200 стандартных рулонов по варианту 1 и 100 стандартных рулонов - по варианту 2.

b) Предположим, что ширина стандартного рулона равна 15 футам. Определите возможные варианты разрезки на рулоны шириной 5, 7 и 9 футов и укажите потери бумаги при использовании каждого варианта.

c) В исходной задаче (со стандартными рулонами шириной 20 футов) поступил новый заказ, где потребность в рулонах шириной 7 футов уменьшилась до 80 штук, а необходимое число рулонов другой ширины (5 и 9 футов) осталось неизменным. Сколько стандартных рулонов необходимо для выполнения нового заказа?

d) В исходной задаче требуемое количество рулонов шириной 9 футов возросло до 400 штук. Сколько дополнительных стандартных рулонов необходимо для выполнения такого заказа?

5. Нефтедобывающая компания, расположенная на острове Аруба, добывает 600 000 баррелей сырой нефти в день. Нефтеперерабатывающий завод производит два вида неэтилированного бензина: рядовой и высококачественный. Процесс нефтепереработки включает три стадии: 1) перегонка сырой нефти на перегонной колонне - на выходе бензиновый полуфабрикат, 2) часть полуфабриката поступает на крекинг-установку, где производится бензиновый дистиллят, 3) смесительная установка смешивает полуфабрикат, полученный на выходе перегонной колонны, и бензиновый дистиллят. Как рядовой, так и высококачественный бензин, можно получить на основе либо бензинового полуфабриката, либо бензинового дистиллята (это зависит от того, что является основой смеси в смесительной установке), но стоимость таких видов бензина будет разной. Компания подсчитала, что чистая прибыль от одного барреля рядового бензина составляет 7,70 и 5,20 долл., в зависимости от того, будет ли основой бензина полуфабрикат или дистиллят. Аналогичная

чистая прибыль от одного барреля высококачественного бензина составляет соответственно 12,30 и 10,40 долл.

На производство одного барреля бензинового полуфабриката (получаемого на выходе перегонной колонны) идет 5 баррелей сырой нефти. Крекинг-установка за день не может переработать более 40 ООО баррелей полуфабриката. Весь остальной полуфабрикат идет на изготовление чистого бензина через смесительную установку. Ежедневно требуется производить не более 80 000 баррелей рядового и 50 000 баррелей высококачественного бензина.

a) Разработайте математическую модель, позволяющую найти оптимальный производственный план нефтеперерабатывающего завода.

b) Предположим, что появилась возможность увеличить производительность перегонной колонны до 650 000 баррелей в день, для чего необходимо одноразовое вложение 3 500 000 долл., а после этого 15 000 долл. ежедневно для поддержания такой производительности. Порекомендуете ли вы реализовать такую возможность? Обоснуйте свою рекомендацию.

6. Сахарный завод из сиропа сахарного тростника производит желтый сахар, обычный белый, сахарную пудру и мелассу (черную патоку). Компания еженедельно закупает 4000 т сиропа и планирует производить не менее 25 т каждого сахарного продукта в неделю. Процесс производства начинается с переработки сахарного сиропа в желтый сахар и мелассу. Из одной тонны сиропа получается 0,3 т желтого сахара и 0,1т мелассы. Далее из желтого сахара вырабатывается белый: из тонны желтого сахара получается 0,8 т белого. Наконец, сахарная пудра получается из белого сахара путем размельчения на специальной мельнице. Производительность этой мельницы равна 95%, т.е. из тонны белого сахара получается 0,95 т сахарной пудры. Доход от одной тонны желтого и белого сахара, сахарной пудры и мелассы составляет 150, 200, 230 и 35 долл. соответственно.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее оптимальное решение.

b) Определите экономическую целесообразность расширения производства сахарного завода для переработки более 4000 т сахарного сиропа еженедельно.

7. Некая компания рассматривает возможность реализации шести проектов в течение 4 лет. Ожидаемые затраты на реализацию каждого проекта и доход от них приведены в следующей таблице. Компания может выполнить любой проект частично или полностью. При частичном выполнении проекта доход и затраты рассчитываются пропорционально реализованной доле проекта.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите решение (состоящее из набора выполняемых частей проектов), максимизирующее общую прибыль.

b) Предположим, что никакая часть второго проекта не может быть выполнена без реализации такой же или большей части шестого проекта. Измените формулировку задачи и найдите новое оптимальное решение.

c) Каков эффект от денег, вложенных на 4-м году?

d) Предположим, что деньги, оставшиеся в конце года, можно использовать в следующем году. Найдите новое оптимальное решение и определите, какую сумму каждый год может занять у предыдущего.

e) Предположим, что суммы, вкладываемые ежегодно в течение первых трех лет, при необходимости можно получить в виде займа у внешних заемщиков. Переформулируйте задачи и найдите оптимальное решение. Будет ли новое решение требовать займов каждый год? Если да, то каков процент прибыли можно получить на заемные деньги?

8. Производственная компания Прогресс получила заказ на изготовление оконных блоков, рассчитанный на 6 месяцев. В течение этого срока надо ежемесячно поставлять 100, 250, 190, 140, 220 и 110 оконных блоков. Стоимость оконных блоков в разные месяцы может быть разной, в зависимости от стоимости трудовых ресурсов, материалов и оконной фурнитуры. Компания подсчитала, что стоимость ее продукции на следующие 6 месяцев будет равна 50, 45, 55, 48, 52 и 50 долл. за один оконный блок. Учитывая изменения стоимости, компания может производить больше оконных блоков, чем необходимо, и использовать ранее произведенную продукцию для покрытия потребности следующих месяцев. Однако хранение одного оконного блока стоит 8 долл. в месяц, причем начисления за хранение происходят при инвентаризации продукции в конце каждого месяца.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования для определения оптимальной временной схемы производства.

b) Решите задачу, предполагая, что компания имеет в начале первого месяца в запасе 25 оконных блоков.

c) Объясните, почему двойственные цены для 1-, 2-, 4- и 5-го месяцев в точности равны стоимостям производства единицы продукции в эти месяцы, тогда как в 3-й месяц этого не наблюдается.

d) Если стоимость хранения оконного блока возрастет до 9 долл., изменится ли полученное ранее оптимальное решение?

9. Некий инвестор имеет четыре проекта инвестирования суммы в размере 100 000 долл. В следующей таблице показаны денежные потоки для каждого инвестиционного проекта.