17.7. Модель (M/G/1): (GD/oo/oc). Формула Поллачека-Хинчина

На основании данных примера 17.6.2 имеем, что Л = Л = 4 автомобиля в час. Время обслуживания является постоянным, так что М{/} = 10/60 = 1/6 часа и D{t) = 0. Следовательно,

4 - +

6) 2(, 4

,333 автомобилей,

L = 1,333-[-1 = 0,667 автомобиля,

, 1,333

Ws = --= 0,333 часа,

0,667

W=--= 0,167 часа.

* 4

Интересно отметить, что, несмотря на то, что интенсивности как поступления клиентов, так и обслуживания в рассматриваемой модели такие же, как и в пуассонов-ском случае из примера 17.6.2 (Я = 4 автомобиля в час и р = 1/M{t} = 6 автомобилей в час), среднее время ожидания в рассматриваемом случае меньше, так как время обслуживания является постоянным, о чем свидетельствует следующая таблица.

(М/М/1): (GD/qoH (M/D/1): (GD/qo/°q)

Ws (часы) 0,5 0,333

И/, (часы) 0,333 0,167

В этих результатах есть смысл, поскольку постоянное время обслуживания подразумевает большую определенность в функционировании системы.

УПРАЖНЕНИЯ 17.7

1. В примере 17.7.1 вычислите процент времени, когда оборудование простаивает.

2. Решите задачу из примера 17.7.1, предположив, что распределение времени обслуживания задается следующим образом.

a) Равномерное на интервале от 8 до 20 мин.

b) Нормальное с р= 12 минут и а- 3 мин.

c) Дискретное со значениями, равными 4, 8 и 15 мин., и вероятностями 0,2, 0,6 и 0,2 соответственно.

3. Фирма устанавливает деревянные крыши в новых и старых жилых домах в штате Арканзас. Будущие клиенты обращаются за услугами фирмы случайным образом с интенсивностью 9 работ за месяц (30 дней) и заносятся в очередь в соответствии с принципом первым пришел- первым обслуживаешься . Дома отличаются своими размерами, но есть основания утверждать, что площади крыш равномерно распределены между 150 и 300 кв. единицами (1 кв. единица = 100 кв. футов). Рабочая бригада за день может выполнить работы на 75 кв. единицах площади крыши. Определите следующие показатели.

a) Среднее количество невыполненных заказов по установке крыш.

b) Среднее время, которое клиент вынужден ждать до завершения установки крыши.

с) Если рабочая бригада за день сможет выполнить работы на 150 кв. единицах площади крыш, как это повлияет на среднее время ожидания завершения установки крыши?

4. Фирма Оптика изготавливает очки в соответствии с рецептами, которые получает от своих клиентов. Каждый рабочий специализируется на изготовлении определенных типов очков. Фирма испытывает некоторые затруднения с изготовлением бифокальных и трифокальных типов очков. Рабочие получают 30 заказов на восьмичасовой рабочий день. Время изготовления очков по рецепту нормально распределено с математическим ожиданием 12 мин. и стандартным отклонением 3 мин. Затем рабочий проверяет очки, затрачивая на это от 2 до 4 мин. С равномерным распределением соответствующего времени, после чего может приступить к выполнению нового заказа. Определите следующие показатели.

a) Процент времени простоя рабочего.

b) Среднее количество невыполненных заказов на изготовление бифокальных и трифокальных типов очков.

c) Среднее время выполнения заказа.

5. Изделие поступает на обработку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью одно изделие в единицу времени. Обработка изделия требует выполнения двух последовательных операций, за которыми следит один рабочий. Для выполнения первой операции используется полуавтоматический станок, который выполняет свои операции точно за 28 мин. На второй операции осуществляются незначительные изменения и регулировка, и время ее выполнения зависит от качества изделия после первой операции. Время выполнения второй операции равномерно распределено на интервале от 3 до 6 мин. Так как выполнение каждой операции требует полного внимания рабочего, нельзя начать обработку нового изделия на полуавтоматическом станке до тех пор, пока не будет выполнена вторая операция для обрабатываемого изделия.

a) Определите количество изделий, ожидающих обработки на полуавтоматическом станке.

b) Чему равен процент времени простоя рабочего?

c) Сколько в среднем требуется времени для обработки изделия обеими операциями?

6. Модель (M/D/l): (GD/oo/oo). Покажите, что для ситуации, когда время обслуживания постоянно (в этом случае D{t) = 0), формула Поллачека-Хинчина принимает следующий вид:

где р = Я/р = ЯМЩ ир = 1/M{t).

7. Модель (М/Ет/1): (GD/oo/oo). Время обслуживания подчиняется распределению Эрланга с параметрами т и (здесь M{t] = m/pnD{t} = т/р). Покажите, что в данном случае формула Поллачека-Хинчина принимает такой вид:

Ls = wp +

и(1 +т)р2 2(1-mp)

Покажите, что формула Поллачека-Хинчина сводится к формуле для L$ в модели (М/М/1): (GD/oo/oo), когда время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону с математическим ожиданием 1 /р единиц времени.

9. Пусть в системе обслуживания с с параллельными сервисами клиенты прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средней интенсивностью Я. Прибывающие клиенты распределяются между сервисами (занятыми или свободными) на основе строгого чередования.

a) Найдите распределение времени между последовательными поступлениями клиентов.

b) Предположите, что прибывающие клиенты случайным образом распределяются между с сервисами с вероятностями at, at>0,i=l, 2, с и а, + аг+ ... + а. = 1. Найдите распределение времени между последовательными поступлениями клиентов.

17.8. ДРУГИЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В предыдущих разделах основное внимание было сосредоточено на пуассонов-ских системах массового обслуживания. Однако в литературе по теории массового обслуживания рассматривается множество других моделей. В частности, системы массового обслуживания с приоритетами и системы обслуживания непуассонов-ского типа составляют существенную часть соответствующей научной литературы. С такими моделями можно познакомиться в большинстве специальных книг по теории массового обслуживания.

17.9. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Уровень обслуживания в системе является функцией интенсивности обслуживания р и количества с параллельно работающих сервисов. В этом разделе рассматриваются две модели принятия решений для определения подходящих уровней обслуживания для систем массового обслуживания: 1) модель со стоимостными характеристиками и 2) модель предпочтительного уровня обслуживания. В обеих моделях более высокий уровень обслуживания подразумевает уменьшение времени ожидания в системе. В этих моделях для поиска равновесия между конфликтующими факторами (уровнем обслуживания и временем ожидания в системе) используются функциональные показатели обслуживающей системы, которые получены ранее для различных моделей.

17.9.1. Модель со стоимостными характеристиками

Модели со стоимостными характеристиками стремятся уравновесить два конфликтующих стоимостных показателя.

1. Затраты на обслуживание.

2. Потери, обусловленные задержками в предоставлении услуг (время ожидания клиента).

Эти два вида затрат конфликтуют между собой, так как увеличение одного из них автоматически ведет к уменьшению другого и наоборот (см. рис. 17.1).

Пусть уровень обслуживания представляет переменная х, равная рили с. Тогда модель со стоимостными характеристиками можно представить в следующем виде:

СОС(х) = СТС(х) + СТО(х),