Проиллюстрируем применение этой процедуры для модели системы обслуживания с несколькими сервисами, в которой необходимо определить приемлемое количество сервисов с . Для этого рассмотрим два (конкурирующих) экономических показателя процесса обслуживания.

1. Среднее время ожидания в системе Wt.

2. Процент простоя сервисов X.

Значение Wt можно вычислить, используя программное обеспечение TORA для модели (М/М/с). Процент простоя средств обслуживания можно вычислить следующим образом.

х =-xioo = c~~Z,xioo=fi-a-lxioo. с с { сц )

(Доказательство этого соотношения см. в упражнении 17.6.5.12.) Задача сводится к определению такого количества сервисов с , что

W, < а и X < Д

где avi р- уровни предпочтительного обслуживания, определенные лицом, которое принимает решение. Например, можно поставить условие, что а = 3 мин. и /3= 10 %.

Задачу можно решить, построив графики Wtn X как функции количества сервисов с (рис. 17.11). Отмечая на графиках значения аиД мы определяем приемлемый интервал изменения для уровня обслуживания с*. Если оба упомянутых выше условия нельзя удовлетворить одновременно, необходимо ослабить один или оба уровня предпочтительности, пока не будет получен приемлемый интервал изменения количества сервисов.

Рис. 17.11. Приемлемый интервал изменения для уровня обслуживания

Пример 17.9.3

Допустим, что в примере 17.9.2 необходимо определить такое количество служащих на складе, чтобы среднее время ожидания инструмента было меньше 5 мин. Одновременно требуется, чтобы процент времени, в течение которого персонал мастерской остается свободным, не превышал 20 % .

Заметим, что и без вычислений очевидным является тот факт, что уровень предпочтительности в 5 мин. для времени ожидания инструмента (т.е. здесь Wi<5) является недостижимым, так как из данных задачи следует, что среднее время об-

служивания равно 6 мин. Приведенная ниже таблица содержит значения 1С,иХ как функций от с и подтверждает это замечание. Действительно при с > 5 имеем Ws = 6 мин. Таблица также показывает, что дальнейшее увеличение числа служащих может лишь повысить процент их простоя X.

В этой ситуации мы фактически ничего не можем сделать, так как задачу нельзя решить путем увеличения количества служащих на складе. Необходимо либо уменьшить время обслуживания в системе, либо признать, что в реальной ситуации, которой соответствует математическая модель, интенсивность запросов на инструменты чрезвычайно высока (Я = 17,5 запросов в час). Весьма вероятно, что именно на последний факт должно быть обращено внимание. Например, можно провести исследование причины такого высокого спроса на замену инструмента. Может ли быть причиной этого неадекватная конструкция самого инструмента? Или же причиной является то, что операторы станков целенаправленно стараются подорвать производство, таким образом выражая свое недовольство?

УПРАЖНЕНИЯ 17.9.3

1. Цех использует 10 одинаковых станков. Каждый станок выходит из строя в среднем один раз в 7 часов. Ремонт сломанного станка длится в среднем 4 часа. Как процесс выхода станков из строя, так и процесс ремонта подчиняются распределению Пуассона. Определите следующие показатели.

a) Необходимое число механиков для ремонта станков, при котором среднее количество неработающих станков будет меньше 4.

b) Такое число механиков для ремонта станков, чтобы ожидаемое время задержки, обусловленное ремонтом станка, было меньше четырех часов.

2. В стоимостной модели системы обслуживания, рассмотренной в подразделе 17.9.1, в общем случае трудно оценить стоимостный параметр С2 (стоимость ожидания). Может быть полезным вычисление стоимости ожидания С2, предполагаемое уровнями предпочтительности обслуживания. В этом случае считаем, что значение Ct известно. Используя модель предпочтительного уровня обслуживания для определения с , можно оценить предполагаемое значение С2 с помощью следующего неравенства:

Ls(c)-Ls{c+\)<<Ls(c-\)-Ls(c).

(Вывод этой формулы см. в упражнении 17.9.2.5.) Примените эту процедуру для задачи из примера 17.9.2, предполагая, что с = 3 и С, = 12 долл.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hall R. Queueing Methods for Service and Manufacturing, Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1991.

2. Lipsky L. Queueing Theory, A Linear Algebraic Approach, Macmillan, New York, 1992.

3. Morse P. Queues, Inventories, and Maintenance, Wiley, New York, 1958.

4. Parzen E. Stochastic Processes, Holden-Day, San Francisco, 1962.

5. Saaty T. Elements of Queueing Theory with Applications, Dover, New York, 1983.

6. Tijms H.C. Stochastic Models - An Algorithmic Approach, Wiley, New York, 1994.

Литература, добавленная при переводе

1. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. - М.: Наука, 1972.

2. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1965.

3. Кофман А. Методы и модели исследования операций. - М.: Мир, 1966.

4. Мур Дж., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. - М.: Издательский дом Вильяме , 2004.

5. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. - М.: Сов. радио, 1965.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

17.1. 5 Банк в своей деятельности использует традиционную линию, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины, и две автоматические линии, которые соединены с внутренней частью банка пневматическим контейнером. Банк хотел бы расширить существующие средства обслуживания, чтобы прибывающий на автомашине клиент смог завершить свое дело в банке в среднем не более чем за 4 минуты. Это ограничение по времени было основано на психологических исследованиях, которые показывают, что нетерпение клиентов проявляется на основе движения минутной стрелки часов между двумя метками, что для большинства часов, установленных в банках, соответствует пяти минутам. Для сбора необходимой информации группа специалистов по исследованию операций изучила действия кассиров, которые работают в банке. После некоторого ознакомления с работой системы один из членов группы отметил заметное отличие времени, которое тратит клиент в линии обслуживания, и времени, когда кассир выполняет необходимые банковские операции. Действительно время, которое автомобиль проводит в системе, состоит из 1) осознания, что впереди стоящий автомобиль уехал, 2) движения к окну кассира, 3) передачи кассиру необходимых указаний, 4) необходимых действий кассира и 5) выхода из системы. На протяжении первой, второй

Задача базируется на работе Foote В. L. A Queueing Case Study in Drive-in Banking , Interfaces, Vol. 6, No. 4, pp. 31-37, 1976.