1, если 0 < д- < ], О в противном случае.

В табл. 18.1 приведен небольшой список случайных чисел из интервала [0, 1]. Эти числа сгенерированы с использованием специальных методов, которые описаны в разделе 18.4.

Таблица 18.1

Пусть Л, и Л2 - различные случайные числа из интервала [0, 1]. Тогда координаты (х, у) точек квадрата можно выразить через эти случайные числа:

х = -4 + [6 - (-4)]Л, = -4 + ЮЛ

у = -3 + [7 - (-3)]Л2 = -3 + 10Л2.

Используя приведенные формулы, мы можем сгенерировать равномерно распределенную случайную точку (х, у) квадрата для каждой пары случайных чисел (Л Л2). Сгенерированная точка {х, у) попадает внутрь круга, если

(х- 1)2 + (у-2)2<25.

Например, если Л, = 0,0589 и Л2 = 0,6733, то

х = -4 + ЮЛ, = -4 + 10 х 0,0589 = -3,411,

у = -3 + 10Л2 = -3 + 10 х 0,6733 = 3,733.

Так как величина (-3.411 - I)2 + (3.733 - 2)2 = 22,46 меньше 25, следовательно, точка (х, у) попадает внутрь круга.

Исследуем теперь влияние случайной выборки на точность оценки площади круга. Точность оценки можно повысить, увеличив объем одной выборки и/или повторив эксперименты (прогоны) на разных выборках (но одинакового размера).

Хотя вычисление отдельных выборочных значений относительно просто, создание выборки достаточно большого объема требует больших вычислений. Шаблон Excel chl8Circle.xls создан для выполнения вычислений рассматриваемого примера (рис. 18.2). Входными данными для вычислений являются радиус круга (ячейка С5), координаты центра круга (ячейки С6 и С7), размер выборки (ячейка С4) и количество прогонов (ячейка СЗ). В ячейку Е4 вводится число имитаций (т.е. количество полных повторений экспериментов с тем же количеством прогонов). Например, если объем выборки п равен 30 000 и число имитаций равно 3, то шаблон автоматически вычислит результаты для выборок объема 30 000, 60 000 (2 имитации) и 90 000 (3 имитации).

Рис. 18.2. Вычисление e Excel оценки площади круга методом Монте-Карло

На рис. 18.2 показаны оценки площади круга для объема выборки 30 ООО, количества выборок 5 и числа имитаций 3. Точная площадь круга равна 78,54 см2, методом Монте-Карло получили оценки от А = 78,533 до А = 78,490 см2. Отметим, что стандартное отклонение изменяется от значения s = 0,308 при п = 30 ООО до s = 0,191 при п = 90 ООО. Это говорит о том, что точность оценки повышается при увеличении объема выборки.

Если в шаблоне щелкнуть на командной кнопке Press to Execute Monte Carlo (Выполнить метод Монте-Карло), то будут получены новые оценки путем повторных вычислений с новой последовательностью случайных чисел.

Ввиду того, что оценки площади имеют разброс, важно, чтобы результаты эксперимента, связанного с моделированием, были выражены в виде доверительных интервалов, показывающих величину отклонения от точного значения. В рассматриваемом примере, если А представляет собой точное значение площади, а А и s - среднее и дисперсию при числе экспериментов N, то 100(1 -а)%-ный доверительный интервал для А задается в виде

А VFa/2- - ~А~А+7NlaJ2-N-1

где ta/2 w , - (100а/2)% -ная точка /-распределения (распределения Стьюдента) с N- 1

степенями свободы (см. приложение В). Заметим, что N обозначает число экспериментов (прогонов), и его следует отличать от п, которое обозначает объем выборки ( продолжительность прогона модели). В рассматриваемом примере мы заинтересованы в установлении доверительного интервала, полученного для выборки наибольшего объема (т.е. и = 90 ООО). При N=5, А = 78,490 см2, s = 0,191 см2 и = 2,776 результирующим 95% -ным доверительным интервалом является 78,25 < А < 78,73.

Рассмотренный пример ставит два вопроса, характерных для любого эксперимента, связанного с моделированием.

1. Каким должен быть объем выборки п для достижения необходимого значения доверительных интервалов?

2. Сколько для этого требуется прогонов TV?

Ответы зависят от природы эксперимента, связанного с моделированием. Как и в любом статистическом эксперименте, большие значения п и TV обеспечивают более надежные результаты. Препятствием может быть стоимость проведения эксперимента, которая возрастает пропорционально увеличению п и TV.

УПРАЖНЕНИЯ 18.1

1. В условиях примера 18.1.1 вычислите площадь круга, используя из табл. 18.1 два первых столбца в качестве источника случайных чисел из интервала [0, 1]. (Для удобства выбирайте Д, из первого столбца, a Д2 - из второго, двигаясь при этом сверху вниз.) Сравните полученный результат с результатами вычислений в Excel, показанными на рис. 18.2.

2. Пусть уравнение окружности имеет вид (х - З)2 + (у + 2)2 = 16.

a) Найдите соответствующие плотности вероятностей f(x) и /((/). Покажите, как с помощью пары случайных чисел (Д Д2) из интервала [0, 1] можно получить выборочную точку (х, у).

b) С помощью шаблона Excel chl8Circle.xls оцените площадь круга при п= 100 000 и TV= 10. Постройте 95%-ный доверительный интервал для оценки площади круга.

3. Примените метод Монте-Карло для вычисления площади озера, показанного на рис. 18.3. Для получения значений случайных чисел из интервала [0, 1] используйте два первых столбца табл. 18.1.

§ 2 S

О 1 2 3 4 5 6 1 Мили

Рис. 18.3. План озера для упражнения 3

4. Рассмотрим игру, в которой два игрока А и Б поочередно подбрасывают правильную (симметричную) монету. Если выпадает лицевая сторона монеты, игрок А получает 10 долл. от игрока Б, иначе игрок Б выигрывает у игрока А10 долл.

a) Как смоделировать эту игру в виде эксперимента Монте-Карло?

b) Проведите эксперимент в 5 прогонов с 10 подбрасываниями монеты в каждом прогоне. Используйте пять первых столбцов табл. 18.1 для получения значений случайных чисел из интервала [0, 1], при этом каждый столбец будет соответствовать одному прогону.