c) Вычислите 95% -ный доверительный интервал для выигрышей игрока А.

d) Сравните доверительный интервал, полученный в предыдущем пункте, с ожидаемым теоретическим выигрышем игрока А.

a) Оцените значение этого интеграла с помощью метода Монте-Карло.

b) Используйте четыре первых столбца табл. 18.1 для получения оценки значения интеграла, основанной на 4 прогонах объемом 10 каждый. Вычислите 95%-ный доверительный интервал и сравните его с точным значением интеграла.

6. Смоделируйте ситуацию с пятью выигрышами или проигрышами в следующей игре в кости. Игрок бросает две симметричные игральные кости. Если выпавшая сумма равна 7 или 11, игрок выигрывает 10 долл. Иначе он запоминает выпавшую сумму (называемую очком) и продолжает бросать кости до тех пор, пока выпавшая сумма не совпадет с очком, после чего игрок получает 10 долл. Но если выпавшая сумма равна 7, игрок проигрывает 10 долл.

7. Цикл исполнения заказа на некую продукцию с равной вероятностью составляет 1 или 2 дня. Предполагается, что ежедневный спрос равен 0, 1 и 2 единицы этой продукции с вероятностями 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно. Используйте значения случайных чисел из табл. 18.1 (начиная с первого столбца) для оценки совместного распределения спроса и цикла исполнения заказа. Исходя из полученного совместного распределения, оцените плотность вероятности спроса в течение цикла исполнения заказа. (Подсказка. Спрос во время исполнения заказа может принимать значения 0, 1, 2, 3 и 4.)

8. Рассмотрим эксперимент Бюффона с иглой. Горизонтальная плоскость разделена параллельными прямыми, расположенными на расстоянии D см одна от другой. Игла длиной d см (d < D) случайным образом бросается на плоскость. Необходимо найти вероятность того, что игла коснется или пересечет одну из прямых. Введем следующие обозначения.

b) Составьте план эксперимента Монте-Карло, обеспечивающий определение оценки искомой вероятности.

c) Используйте первые четыре столбца табл. 18.1 для поиска оценки искомой вероятности, основанной на 4 прогонах объемом 10 каждый. Вычислите 95% -ный доверительный интервал для оценки.

d) Покажите, что вероятность интересующего нас события равна

Используйте эту формулу вместе с результатом, полученным при решении задачи из п. с), для оценки значения числа к.

5. Рассмотрим определенный интеграл \x2dx.

h - расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, в- угол, составленный иглой с этой прямой, а) Покажите, что игла коснется или пересечет прямую, если

л< -sinе, o<h<-, о<е<л.

18.2. Типы имитационных моделей

18.2. ТИПЫ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

Использование современных имитационных моделей базируется, в основном, на идее метода Монте-Карло. Отличие состоит в том, что имитационная модель обычно связана с изучением реально существующей системы, поведение которой является функцией времени. Существует два типа имитационных моделей.

1. Непрерывные модели используются для систем, поведение которых изменяется непрерывно во времени. Непрерывные имитационные модели обычно представляются в виде разностно-дифференциальных уравнений, которые описывают взаимодействие между различными элементами системы. Типичным примером непрерывной имитационной модели является изучение динамики народонаселения мира.

2. Дискретные модели имеют дело с системами, поведение которых изменяется лишь в заданные моменты времени. Типичным примером такой модели является очередь. При этом задача моделирования состоит в оценивании операционных характеристик обслуживающей системы, таких, например, как среднее время ожидания или средняя длина очереди. Такие характеристики системы массового обслуживания изменяют свои значения либо в момент появления клиента, либо при завершении обслуживания. В других случаях в системе ничего существенного (с точки зрения имитационного моделирования) не происходит. Те моменты времени, в которые в системе происходят изменения, определяют события модели (например, приход или уход клиента). То, что эти события происходят в дискретные моменты, указывает, что процесс протекает в дискретном времени, откуда и появилось название дискретное моделирование.

В настоящей главе основное внимание уделено обсуждению основ дискретного моделирования. Начнем с описания событий и того, как они могут быть сгенерированы в имитационной модели. Далее рассмотрим процедуры сбора статистических данных на основе имитационной модели и обсудим статистические аспекты имитационного эксперимента. Мы также подчеркнем важную роль компьютера и языков имитационного моделирования при реализации имитационных моделей.

упражнения 18.2

1. Распределите по категориям приведенные ниже ситуации с точки зрения их принадлежности к дискретному или непрерывному типу (они также могут быть комбинацией обоих типов). В каждом случае укажите цель создания имитационной модели.

a) Заказы на деталь поступают на склад случайным образом. Заказ, который не может быть выполнен сразу из наличного запаса, должен ожидать прибытия новых поставок.

b) На численность населения земного шара влияет наличие полезных ископаемых, производство пищи, экологические условия, уровни образования, здравоохранения и капитальные вложения.

c) Товары прибывают на приемную платформу автоматизированного склада на поддонах. Поддоны погружаются на нижний ленточный конвейер и поднимаются лифтом на верхний конвейер, который перемещает их к коридорам. Коридоры обслуживаются кранами, которые снимают поддоны с конвейера и помещают их в складские бункеры.

2. Объясните, почему вы согласны (или не согласны) со следующим утверждением: Большинство моделей дискретного моделирования в той или иной

форме можно обнаружить в системах массового обслуживания, состоящих из источников, которые поставляют клиентов; очередей, где клиенты ожидают; и сервисов, где клиенты обслуживаются .

18.3. ЭЛЕМЕНТЫ ДИСКРЕТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В этом разделе показано, как используется концепция события и как собираются статистические данные на основе имитационных моделей систем.

18.3.1. Общее определение событий

Все имитационные модели с дискретными событиями описывают прямо или косвенно ситуации с очередью, в которую клиенты прибывают, при необходимости ожидают в ней, потом обслуживаются перед тем, как оставить систему. В общем случае любая модель с дискретными событиями состоит из сети взаимосвязанных очередей.

Имитационная модель с дискретными событиями в действительности является композицией очередей. В целях сбора статистических данных (показателей функционирования системы) заметим, что изменения в системе (например, изменение длины очереди или состояния средств обслуживания) возникают лишь тогда, когда клиент поступает в очередь или покидает систему после обслуживания. Это означает, что двумя главными событиями в любой дискретной имитационной модели являются прибытие и уход клиентов. Это единственные показатели, по которым необходимо исследовать систему. В другие моменты времени никаких изменений, влияющих на статистические данные системы, не происходит.

Пример 18.3.1

Металлообрабатывающий цех получает два вида работ: обычную и срочную. Все работы выполняются последовательно на двух обрабатывающих центрах с обширными буферными зонами. Считается, что срочные работы всегда имеют приоритет перед обычными. Охарактеризуем события в описанной ситуации.

Рассматриваемая ситуация состоит из двух сдвоенных очередей, соответствующих двум обрабатывающим центрам. На первый взгляд, можно согласиться со следующим определением событий в описанной ситуации.

All: обычная работа поступает в центр 1;

А21: срочная работа поступает в центр 1;

Д11: обычная работа уходит из центра 1;

Д21: срочная работа уходит из центра 1;

А12: обычная работа поступает в центр 2;

А22: срочная работа поступает в центр 2;

Д12: обычная работа уходит из центра 2;

Д22: срочная работа уходит из центра 2.

В действительности мы точно имеем лишь два события: прибытие (новой) работы в цех и выход (выполненной) работы из цеха. Заметим сначала, что события Д11 и А12 совпадают и являются неразличимыми. Это же замечание применимо к событиям Д21 и А22. Далее в дискретной имитационной модели мы можем использовать