Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 [ 228 ] 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

одно событие (прибытие или уход) для обоих типов работ, просто приписывая событию ярлык , атрибут которого указывает тип работы. (В данном случае можно рассматривать в качестве атрибута персональный идентификационный номер работы.) Принимая эту аргументацию, приходим к выводу, что события в модели сводятся к 1) поступлению А (в цех) и 2) уходу Д (из каждого центра). Действия, связанные с уходом, будут зависеть от обрабатывающего центра, на котором это происходит.

Определив основные события имитационной модели, покажем теперь, как модель функционирует. На рис. 18.4 дано схематическое представление типичных местонахождений событий на шкале времени имитации. После выполнения всех действий, связанных с текущим событием, имитационная модель перепрыгивает к другому событию, которое непосредственно за ним следует. По сути, имитация возникает в те моменты, когда происходят события.

Событие 1 Событие 2 Событие 3 Событие 4 Событие 5 Время

Рис. 18.4. События на шкале времени

Как имитационное моделирование определяет время наступления событий? В системе события, связанные с прибытием, определяются временем между поступлениями клиентов, а события, связанные с их уходом, - временем обслуживания. Время наступления этих событий может быть детерминированным (например, прибытие поездов метро на станцию каждые пять минут) или случайным (например, прибытие клиентов в банк). Если время между наступлениями событий является детерминированным, то процедура определения времени их наступления проста. Если же указанное время является случайным, то используется специальная процедура для получения выборочных значений времени между событиями в системе, соответствующей заданному вероятностному распределению. Содержание такой процедуры рассматривается в следующем разделе.

УПРАЖНЕНИЯ 18.3.1

1. Опишите дискретные события, необходимые для моделирования следующей ситуации. Два вида работ поступают из двух различных источников. Все работы выполняются на единственной машине, причем преимущество имеют работы, поступающие из первого источника.

2. Работы поступают с постоянной скоростью на карусельный конвейер. Три станции обслуживания (серверы) расположены равномерно вокруг конвейера. Если станция свободна, то работа снимается с конвейера для выполнения. Иначе работа находится на вращающемся конвейере до тех пор, пока не освободится какой-либо сервер. Выполненная работа складируется в прилегающей зоне для отправки в другой цех. Определите дискретные события, необходимые для моделирования этой ситуации.

3. Автомобили прибывают по двум линиям в банк, где клиенты обслуживаются, не выходя из машины. Максимальная емкость каждой линии составляет четыре машины. Если обе линии заполнены, то прибывший автомобиль уезжает в поисках другого банка. Если в любой момент на одной из линий по меньшей мере на два автомобиля больше, чем на другой, то последний автомобиль из



более длинной линии перемещается на последнюю позицию короткой линии. В этом режиме банк работает с 8:00 до 15:00 каждый рабочий день. Определите дискретные события для описанной ситуации.

4. Кафетерий начальной школы обеспечивает всех своих учеников завтраком, который помещается на одном подносе. Дети подходят к раздаточному окну каждые 30 секунд. Для получения подноса с завтраком необходимо 18 секунд. Нанесите на временную шкалу события прибытия-ухода для первых пяти учеников.

18.3.2. Генерирование выборочных значений

Случайность в имитационных моделях возникает тогда, когда интервал времени t между последовательными событиями является случайным. В этом разделе рассматриваются следующие методы получения последовательных случайных значений t = f t2, имеющих заданное распределение вероятности f(x).

1. Метод обратных функций.

2. Метод сверток.

3. Метод отбора.

Метод обратных функций дает хорошие результаты для непрерывных распределений, функция распределения которых имеет аналитическое представление, например, как при экспоненциальном или равномерном распределении. Другие два метода более универсальны и используются в таких сложных ситуациях, как, например, генерирование случайных чисел, имеющих нормальное распределение или распределение Пуассона. Все три метода основаны на использовании независимых одинаково распределенных случайных чисел, имеющих равномерное распределение на интервале [0, 1].

Метод обратных функций. Пусть необходимо получить значение х случайной величины у, имеющей непрерывную или дискретную плотность вероятности f(x). Согласно методу обратных функций сначала находится функция распределения F(x) = = Р{у < х}, где 0 < F(x) < 1 для всех значений х. Пусть R - случайное число, полученное из равномерного на интервале [0, 1] распределения, и пусть F1 - функция, обратная к функции F. Метод обратных функций требует выполнения следующих действий.

Этап 1. Генерируется случайное число R из интервала [0, 1]. Этап 2. Вычисляется искомое случайное число х = F \R).

На рис. 18.5 проиллюстрирована описанная процедура для непрерывного и дискретного распределений. Равномерно распределенная случайная величина из интервала [0, 1] проектируется с вертикальной оси F(x) на горизонтальную, определяя при этом искомое значение хх.

Корректность предложенной процедуры основана на том, что случайная переменная г = F(x) является равномерно распределенной на интервале 0 < z < 1, что доказывается в следующей теореме.

Теорема 18.3.1. Для заданной функции распределения F(x) случайной величиных, -о° <#<<*>, случайная величина z = F(x), 0<z<l, имеет плотность вероятности

Д2)=1,0<2<1,

т.е. является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0,1].




О jfj х О

a) jc непрерывно б) х дискретно

Рис. 18.5. Получение случайных чисел методом обратных функций

Доказательство. Случайная величина г является равномерно распределенной на интервале [0, 1] тогда и только тогда, когда

P{z<Z}=Z, 0<Z<1.

Это соотношение непосредственно следует из таких равенств:

Р{г < Z} = P{F(x) <,Z}= Р{х < F\Z)} = F(F\Z)) = Z .

При этом 0 < Z < 1, так как 0 < P{z<Z} < 1.

Пример 18.3.2. Экспоненциальное распределение

Предположим, что время t между прибытиями клиентов в парикмахерскую распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием M{t) = 1/А единиц времени, т.е. плотность вероятности задается формулой

f{t) = Xe-\ t>0.

Найдем случайное значение времени t.

Функция распределения вычисляется стандартным образом:

F(t)= jXe-kj,dx = l-e~k, t>0. о

Если Р. - случайное число из интервала [0, 1], то, если R -= F(t), получим

, = -(1)п(1-*).

Так как R - случайное число из интервала [0,1], то и (1 - R) представляет собой случайное число из того же интервала, поэтому можно заменить (1 - R) на Л.

Пусть в имитационной модели события происходят через t единиц времени. Тогда, например, при А = 4 посетителя в час и R = 0,9 интервал времени между прибытиями посетителей вычисляется как

г, = -jjjln(l -0,9) = 0,577 ч = 34,5 мин.

Значения Л, используемые для получения последовательных случайных чисел, должны выбираться случайным образом из интервала [0, 1], подчиняясь равномерному закону распределения. В разделе 18.4 мы покажем, как генерируются такие случайные числа.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 [ 228 ] 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292