УПРАЖНЕНИЯ 18.3.2

1. Пусть в модели из примера 18.3.2 первый клиент поступает в начальный момент времени 0. Используя первые три случайных числа первого столбца табл. 18.1, сгенерируйте время прибытия следующих трех клиентов и нанесите полученные события на временную шкалу.

2. Равномерное распределение. Пусть время, необходимое для обработки детали на станке, равномерно распределено на интервале [a, b], а<Ь, т.е.

/(/) = -!-, a<t<b. о -а

Найдите выражение для вычисления случайного числа t при заданном значении случайного числа R.

3. В небольшой цех с одним станком заказы поступают случайным образом. Время между поступлениями заказов распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 2 часа. Время, необходимое для выполнения заказа, является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [1,1, 2], измеряемом в часах. Пусть первый заказ поступает в момент времени, равный нулю. Определите время поступления и выполнения первых пяти заказов, используя случайные числа из интервала [0, 1], помещенные в первом столбце табл. 18.1.

4. Запрос на дорогую запасную деталь для пассажирского самолета равен 0, 1, 2 или 3 единицы в день с вероятностями 0,2, 0,3, 0,4 и 0,1 соответственно. Цех технического обеспечения полетов имеет на складе 5 упомянутых деталей и немедленно восстановит запас до этого же уровня, если их останется на складе меньше двух единиц.

a) Разработайте процедуру получения случайных значений величины запроса.

b) Сколько дней пройдет до первого пополнения запаса деталей? Используйте последовательные значения случайных чисел R из первого столбца табл. 18.1.

5. В имитационной модели телевизионные блоки проверяются на наличие дефектов. В 80 % случаев блок успешно проходит проверку и упаковывается, иначе он ремонтируется. Символически эту ситуацию можно представить одним из двух способов.

Выполнить ремонт с вероятностью 0,2, упаковать с вероятностью 0,8.

Упаковать с вероятностью 0,8, выполнить ремонт с вероятностью 0,2.

Эти два способа кажутся эквивалентными. Однако при моделировании этой ситуации с помощью одной и той же заданной последовательности случайных чисел из интервала [0, 1] эти представления могут дать различные результаты (в виде выполнить ремонт или упаковать ). Объясните, почему.

6. Игрок подбрасывает симметричную монету до тех пор, пока не появится ее лицевая сторона (герб). Результирующая выплата равна 2 , где п - число подбрасываний до появления лицевой стороны монеты.

a) Разработайте имитационную модель игры.

b) Используйте случайные числа из первого столбца табл. 18.1, чтобы определить накопленное значение выплаты после того, как лицевая сторона монеты появится два раза.

7. Треугольное распределение. В имитационном моделировании при недостатке данных часто невозможно определить вероятностное распределение, соответствующее моделируемым ситуациям. Во многих таких случаях может

оказаться полезным описание распределения случайной переменной путем оценки ее наименьшего, наиболее вероятного и наибольшего значений. Этих трех величин достаточно для вычисления треугольного распределения, которое можно использовать в качестве черновой оценки истинного распределения.

а) Разработайте формулу для получения случайных значений, соответствующих треугольному распределению, параметрами которого являются константы а, Ьис,а<Ь<с,и плотность вероятности которого задается формулой

/(*) =

2(х-

(Ь-а)(с-а) 2(с-х)

(с-Ь){с-аУ

а<х<Ь, Ь<х<с.

Ь) Получите три значения, соответствующие треугольному распределению с параметрами (1, 3, 7), используя для этого три первых случайных числа первого столбца табл. 18.1.

8. Разработайте процедуру получения случайных значений, подчиняющихся распределению, плотность вероятности которого состоит из прямоугольника, граничащего слева и справа с двумя прямоугольными треугольниками (вертикальными катетами этих треугольников являются стороны прямоугольника). Соответствующие основания левого треугольника, прямоугольника и треугольника справа равны [а, Ь], [Ь, с] и [с, d], а < b < с < d. Каждый треугольник имеет высоту, равную высоте прямоугольника.

Определите пять случайных значений, которые соответствуют описанному выше распределению с набором параметров (а, Ь, с, d) = (1, 2, 4, 6), используя при этом пять первых случайных чисел из первого столбца табл. 18.1.

9. Геометрическое распределение. Покажите, как можно получить случайное значение, подчиняющееся геометрическому распределению

f(x)=p(l-p), х-0, 1,2,...,

где х - число неудач в схеме Бернулли до первого появления успеха, р - вероятность успеха, 0 <р < 1. Сгенерируйте пять случайных значений прир = 0,6.

10. Распределение Вейбулла.1 Покажите, как можно получить случайное значение, подчиняющееся распределению Вейбулла, плотность вероятности которого имеет вид

f(x) = ap-axa-le Ы , х>0, где а> 0 - параметр формы, /?> 0 - параметр масштаба.

Метод сверток. Основная идея данного метода состоит в том, чтобы выразить искомую случайную величину в виде суммы других случайных величин, для которых легко получить реализации случайных значений2. Типичными среди таких распределений являются распределения Эрланга и Пуассона, которые можно получить из экспоненциального распределения.

1 В русской математической литературе это распределение также имеет название распределение Вейбулла-Гнеденко . - Прим. ред.

2 Функцию распределения суммы случайных величин можно выразить через функции распределения слагаемых в виде так называемого интеграла свертки, а операцию суммирования случайных величин иногда называют операцией свертки. Отсюда идет название метода. - Прим. ред.

Пример 18.3.3. Распределение Эрланга

Случайная величина, имеющая распределение Эрланга с параметром т (т - целое число), определяется как сумма (свертка) т независимых случайных величин, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром Л. Пусть у - случайная величина, подчиняющаяся распределению Эрланга с параметром т. Тогда

У = У1+У2+ - +Ут,

где у,- (/ = 1, 2, т) - независимые экспоненциально распределенные случайные величины, плотность вероятности которых задается формулой

/(у,) = \ у, >0, 1 = 1,2, ...,т.

Как следует из примера 18.3.2, случайное значение, имеющее (/-е) экспоненциальное распределение, вычисляется по формуле

y,.=-Q-jln(/?,), / = 1,2, ....т.

Следовательно, значение случайной величины Эрланга с параметром т можно вычислить как

y = -j[ln(/?1) + ln(/?2) + ... + ln(/?, )] = -jln(/?1/?2.../?, ).

В качестве иллюстрации применения этой формулы предположим, что т = 3 и Л = 4 события в час. Первые три случайных числа из первого столбца табл. 18.1 дают такой результат: RiR2R3 = 0,0589 х 0,6733 х 0,4799 = 0,0190, что в свою очередь приводит к значениюу = -(1/4)1п(0,019) = 0,991 часа.

Пример 18.3.4. Распределение Пуассона

Если время между некоторыми событиями представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону, то распределение числа событий, происходящих в единицу времени, будет пуассоновским, и наоборот. Этот факт используется для получения случайных значений, подчиняющихся распределению Пуассона.

Пусть для рассматриваемого распределения Пуассона среднее количество событий в единицу времени равно Л. Тогда время между событиями является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение со средним, равным 1/Л единиц времени. Это означает, что на протяжении t единиц времени будет иметь место п событий (число п подчиняется распределению Пуассона) тогда и только тогда, когда

время до реализации события п < t < время до реализации события л + 1.

Это условие можно записать следующим образом:

г, + t2 + ... + tn < t< г, + h + ... + tn+i, n > 0,

0<t<tvn = 0,

где ti - случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средним 1/Л. Принимая во внимание результат примера 18.3.3, имеем

-fl]ln(/?,/?2.../? )< /<-fi]ln(/?,/c2.../c +,), п>0,