Рассмотрим подробнее эту таблицу. Например, для проекта 1 вложение 1,00 долл. в начале первого года принесет 0,50 долл. в начале второго года, 0,30 долл. - вначале третьего года, 1,80долл. - в начале четвертого и 1,20долл. - в начале пятого. Для остальных проектов данные интерпретируются таким же образом. Значение 0,00 показывает, что поступления денег в этом году нет. Инвестор также может положить деньги в банк под 6,5% годовых. Деньги, полученные по итогам года, можно реинвестировать в последующие годы.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите решение, оптимизирующее размещение инвестиций.

b) Используя двойственные цены, определите доходность инвестиций.

c) Если в конце первого года вы планируете истратить 1000 долл. на удовольствия, то как это отразится на сумме, получаемой в начале пятого года?

10. Производственная компания Toolco заключила контракт с сетью магазинов автотоваров AutoMate на поставку 1500 гаечных ключей и 1200 специальных отверток еженедельно. Работая в одну смену, компания Toolco не может выполнить этот контракт, поэтому вынуждена ввести сверхурочные и воспользоваться услугами субподрядчиков, в результате чего возрастает себестоимость ее инструментов, как показано в следующей таблице. Отметим также, что рыночная цена гаечных ключей более чем в два раза выше рыночной цены отверток.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите оптимальную схему производства каждого инструмента.

b) Свяжите двойственные цены в анализе чувствительности оптимального решения с себестоимостью продукции, приведенной в таблице.

c) Как скажется на общей стоимости продукции увеличение на единицу производственных возможностей обычной рабочей смены и сверхурочной работы?

11. Четыре изделия последовательно обрабатываются на двух станках. Данные, описывающие этот технологический процесс, приведены в следующей таблице.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее оптимальное решение.

b) Предположим, что увеличить нагрузку на станки можно только за счет сверхурочной работы. Какую максимальную стоимость часа сверхурочной работы каждого станка может позволить компания?

c) Какая максимальная стоимость машинного часа обработки третьего изделия позволит получить от него хоть какую-то прибыль?

12. Завод производит три типа (I, II и III) некоторого изделия, используя для этого материал А и В. В следующей таблице приведены необходимые данные для этой задачи.

На изготовление единицы изделия типа I тратится в два раза больше рабочего времени, чем на изготовление единицы изделия типа II, и в три раза больше, чем на изготовление единицы изделия типа III. Рабочие ресурсы завода эквивалентны ресурсам, необходимым для изготовления 1500 шт. изделия типа I. Отдел маркетинга требует, чтобы объемы производства изделий типов I, II и III относились как 3:2:5.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее оптимальное решение.

b) Предположим, что завод имеет возможность приобрести дополнительный объем материала А по цене 12 долл. за единицу. Целесообразно ли делать такую покупку?

c) Порекомендуете ли вы заводу купить дополнительный объем материала В по цене 5 долл. за единицу?

13. Компания HiRise получила предложение участвовать в двух одногодичных проектах. Ежеквартальные денежные потоки для этих проектов показаны в следующей таблице.

Проект Объем денежных потоков (млн. долл.) на указанную дату

01.01.08 01.04.08 01.07.08 01.10.08 31.12.08

I -1,0 -3,1 -1,5 1,8 5,0

II -3,0 -2,5 1,5 1,8 2,8

Компания в начале каждого квартала может инвестировать 1 млн. долл., а также взять заем на сумму, не превышающую 10% совокупного годового дохода. Все займы должны быть возвращены в конце квартала. Прибавочные суммы могут ежеквартально приносить прибыль, равную 8% годовых. Все суммы, аккумулированные в конце квартала, можно инвестировать в следующем квартале.

a) Предположим, что компания для реализации проектов может привлекать к долевому участию внешних партнеров. Определите уровень их долевого участия для максимизации чистой прибыли, аккумулированной на 31.12.08.

b) Объясните, можно ли в каком-нибудь квартале использовать внешний заем и получить в конце этого же квартала чистый доход?

c) Дайте экономическую интерпретацию двойственным ценам в этой модели.

d) Покажите, что двойственную цену, соответствующую верхней границе займа в начале третьего квартала, можно выразить через двойственную цену, соответствующую балансным уравнениям денежных потоков на каждую дату, приведенную в таблице.

14. В предчувствии больших расходов на обучение своего ребенка в колледже семейная пара решила ежегодно откладывать определенную сумму в течение 10 лет, начиная с 8-летнего возраста ребенка. Они распределили эти суммы следующим образом.

Для предотвращения нежелательных финансовых сюрпризов, семейная пара решила вложить деньги в 1) страховой полис с 7,5% годовых; 2) шестилетние правительственные ценные бумаги с 7,9% годовых (их текущая рыночная цена равна 98% номинальной стоимости); 3) девятилетние муниципальные ценные бумаги с доходностью 8,5% и текущей рыночной стоимостью 1,02 от их номинальной стоимости.

a) Помогите этой семейной паре оптимально вложить свои деньги.

b) Вычислите их ежегодные доходы.

15. Бизнесмен имеет возможность вложить деньги в два инвестиционных проекта: проект А гарантирует 0,70 долл. на каждый вложенный доллар ежегодно, проект В - 2 долл. на вложенный доллар по истечении двух лет. В проекте А вложения можно делать ежегодно, а в проекте В только в периоды, кратные двум годам.

a) Как инвестировать 100 тыс. долл. для получения максимального дохода в конце третьего года инвестирования?

b) Стоит ли вкладывать еще деньги в эти проекты, т.е. можно ли получить больший процент прибыли при больших вложениях?

16. Рассмотрим задачу назначения трех типов самолетов на четыре маршрута в соответствии со следующими данными.