0</<~

я = 0.

Отсюда получаем

Л1Лг...Л >е 1>Л1Л2...Л,

п>0,

1>>Л /1 = 0.

Проиллюстрируем описанный подход на следующем примере. Пусть необходимо получить случайное значение, соответствующее распределению Пуассона со средней частотой Я=4 события в час, при f = 0,5 часа. Это нам дает ем = 0,1353. Используя случайные числа первого столбца табл.18 1, замечаем, что Л, = 0,0589 меньше ем = 0,1353. Следовательно, /1 = 0.

Пример 18.3.5. Нормальное распределение

Центральная предельная теорема (см. раздел 12.4.4) утверждает, что сумма я одинаково распределенных случайных величин стремится к нормально распределенной величине при бесконечном увеличении п. Мы используем этот результат для получения значений, соответствующих нормальному распределению с математическим ожиданием ju и стандартным отклонением а.

Обозначим х = Л, + Д2 + ... + Д , где Л1? Л2, Л - случайные числа, равномерно распределенные в интервале [0, 1]. В соответствии с центральной предельной теоремой случайная величина х является асимптотически нормальной величиной со средним л/2 и дисперсией я/12. Следовательно, случайная величина у, подчиняющаяся нормальному распределению N(ju, d) с математическим ожиданием ju и стандартным отклонением а, может быть получена из случайной величины х по формуле

Для удобства в практических задачах я обычно выбирается равным 12, что приводит предыдущую формулу к видуу = р+о\х-6).

Для демонстрации этого метода предположим, что необходимо получить случайное значение, соответствующее нормальному распределению N(10, 2) (математическое ожидание ц = 10 и стандартное отклонение а= 2). Вычисляя сумму первых 12 случайных чисел из первого и второго столбцов табл. 18.1, получаем х = 6,1094. Следовательно, у = 10 + 2(6,1094 - 6) = 10,2188.

Неудобство этой процедуры состоит в том, что необходимо генерировать 12 случайных чисел из интервала [0,1] для получения одного выборочного значения, соответствующего рассматриваемому нормальному распределению, что делает ее малоэффективной с вычислительной точки зрения. В соответствии с более эффективной процедурой решения этой же задачи необходимо использовать преобразование

Бокс и Мюллер (Box and Muller) [1] доказали, что случайная величина х является стандартной нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распределение N(0, 1). Следовательно, у = + ах дает значение, подчиняющееся нормальному распределению N(p, а). Эта процедура является более эффективной, так как требует генерирования всего двух случайных чисел из интервала [0, 1].

В действительности данный метод (метод Бокса-Мюллера) является еще более эффективным, так как Бокс и Мюллер доказали, что предыдущая формула дает другое значение, также имеющее нормальное распределение N(0, 1), если cos(2/rf?2) заменить на sin(2/?2). Это значит, что два случайных числа Р.г и R2 из интервала [0,1] можно использовать для одновременного получения двух значений, соответствующих нормальному распределению/V(0, I).3

В качестве иллюстрации применим метод Бокса-Мюллера для нахождения значений, подчиняющихся нормальному распределению N(10, 2). Два первых случайных числа первого столбца табл. 18.1 приводят к следующим значениям, подчиняющимся нормальному распределению N(0, 1):

Следовательно, соответствующие значения, имеющие нормальное распределение N(10, 2), равны

УПРАЖНЕНИЯ 18.3.34

1. В задаче примера 18.3.3 вычислите случайное значение, соответствующее распределению Эрланга при т = 4 и X = 5.

2. В задаче примера 18.3.4 сгенерируйте три случайных значения, соответствующих распределению Пуассона для одночасового периода при математическом ожидании 5 событий в час.

3. В задаче примера 18.3.5 сгенерируйте два случайных значения, соответствующих нормальному распределению N(8, 1), используя как метод сверток, так и метод Бокса-Мюллера.

4. Работы поступают в металлообрабатывающий цех в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием шесть работ в день. Цех имеет пять обрабатывающих центров, на которые контролер направляет полученные работы строго по очереди. Определите одно случайное значение интервала между получением работ на первом обрабатывающем центре.

5. Проведен стандартный тест ACT среди выпускников одного класса средней школы небольшого городка. Результаты теста являются нормально распре-

Интересно отметить, что две случайные величины, получаемые в методе Бокса-Мюллера по схожим формулам, причем зависимые от одних и тех же равномерно распределенных случайных величин, независимы между собой. - Прим. ред.

4 Для всех приведенных здесь задач используйте случайные числа из табл. 18.1, начиная с первого столбца.

у, = 10 + 2(-1,103) = 7,794, у2= 10 + 2(-2,108) = 5,782.

деленной случайной величиной с математическим ожиданием 27 баллов и стандартным отклонением 3 балла. Используя метод Бокса-Мюллера, получите случайные значения показателей шести выпускников этого класса.

6. Профессор психологии Ятаха проводит обучающий эксперимент, в котором мыши приучаются находить путь внутри лабиринта. Основой лабиринта является квадрат. Мышь впускают в лабиринт через один из четырех его углов, и она должна найти путь через лабиринт таким образом, чтобы выйти из него через этот же угол. Конструкция лабиринта такова, что до своего выхода из лабиринта мышь должна пройти через оставшиеся три угла в точности по одному разу. Многовариантные пути лабиринта соединяют четыре его вершины строго в направлении вращения часовой стрелки. Профессор считает, что время, которое мышь тратит для перехода от одной вершины лабиринта до другой, является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале от 10 до 20 секунд. Опишите процедуру получения случайного значения для времени пребывания мыши в лабиринте.

7. Пусть в ситуации, описанной в предыдущем упражнении, как только одна мышь покидает лабиринт, другая в тот же миг входит в него. Опишите процедуру получения случайного значения для количества мышей, которые пройдут лабиринт на протяжении 5 мин.

8. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля). Покажите, как можно вычислить случайное значение, имеющее отрицательное биномиальное распределение, плотность вероятности которого имеет вид

/(х) = [У + Хх~1у{1-р)\ х = 0,1,2,...,

где х - число неудач в последовательности независимых испытаний Бернулли до получения у-го успеха, р - вероятность успеха, 0 <р < 1. (Подсказка. Случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение, является сверткой (суммой) независимых случайных величин, подчиняющихся геометрическому распределению. См. также упражнение 18.3.2.9.)

Метод отбора.5 Данный метод разработан для получения значений случайных величин со сложными функциями плотностей вероятностей, к которым нельзя применить изложенные выше методы. Общая идея данного метода сводится к замене сложной плотности вероятности f(x) более удобной с аналитической точки зрения плотностью вероятности h(x). Затем значения, соответствующие плотности h(x), используются для получения значений, соответствующих исходной плотности f(x).

Для плотности вероятности f(x) определяем такую мажорирующую функцию g(x), что

g(x) > f(X), -оо < X < оо.

Теперь определим плотность вероятности h(x) путем нормализации функции g(x):

h(x) = -сю<х<сю.

\g{y)dy

В русскоязычной математической литературе этот метод иногда также называют методом отказов, что больше соответствует английскому названию acceptance-rejection method. - Прим. ред.