В методе отбора последовательно выполняются следующие действия.

Этап 1. С помощью метода обратной функции или метода свертки получаем случайное значение х = х соответствующее плотности вероятности h(x).

Этап 2. Генерируем случайное число R из интервала [0,1].

ЭтапЗ. Если R<f(x/g(xx), следует принять х1 как искомое значение, соответствующее распределению f(x). Иначе необходимо вернуться к этапу 1, отбросив значение хг

Обоснованность этого метода вытекает из следующего равенства:

P{x<a\x = xt принимается, -оо<х,<оо} = jf(y)dy, -оо<а<оо.

Это вероятностное соотношение означает, что значение х = xv удовлетворяющее условию этапа 3, в действительности является значением, соответствующим исходной плотности вероятности f(x), что и требуется.

Эффективность предложенного метода можно повысить, уменьшив вероятность отклонения значения х, на этапе 3. Эта вероятность зависит от выбранной функции g(x) и должна уменьшаться с выбором такой функции g(x), которая более точно мажорирует функцию f(x).

Пример 18.3.6. Бета-распределение

Используем метод отбора, чтобы найти значение, соответствующее бета-распределению, плотность вероятности которого задается формулой

fix) = 6х(1 - х), 0< х<1.

На рис. 18.6 изображены функция*) и мажорирующая ее функция g(x).

Рис. 18.6. Иллюстрация к методу отбора

Высота мажорирующей функции g(x) равна максимальному значению функции J[x), которого она достигает в точке* = 0,5. Это значит, что#(х) = 1,5, 0 <х < 1.

Функция плотности замещающего распределения h{x), также представленная на рис. 18.6, вычисляется согласно соотношению

Следующие действия демонстрируют применение процедуры метода отбора с использованием последовательности случайных чисел из табл. 18.1.

Этап 1. Использование числа R = 0,0589 приводит к случайному значению х = 0,0589, соответствующему плотности h(x).

Этап 2. Выбираем из табл. 18.1 следующее число R = 0,6733.

ЭтапЗ. Так как 7(0,0589)/g(0,0589) = 0,3326/1,5= 0,2217 меньше R = 0,6733, мы отбрасываем значение* = 0,0589.

Для получения второго значения повторяем действия.

Этап 1. Использование числа R = 0,4799 (из первого столбца табл. 18.1) приводит к случайному значению х = 0,4799, соответствующему плотности h(x).

Этап 2. Выбираем из табл. 18.1 следующее число R = 0,9486.

Этап 3. Так как /0,4799)/g(0,4799) = 0,9984 больше R = 0,9486, мы принимаем значение х = 0,4799 как соответствующее бета-распределению.

Из этого примера видно, что итерации метода отбора должны повторяться с новыми значениями случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0, 1], до тех пор, пока не будут выполнены условия этапа 3.

Эффективность метода отбора повышается в результате выбора такой мажорирующей функции g(x), которая облегала бы функцию f(x) как можно более плотно, порождая в то же время приемлемую с аналитической точки зрения аппроксимирующую функцию h(x). Например, метод будет более эффективным, если прямоугольную мажорирующую функцию g(x) на рис. 18.6 заменить ступенчатой (см. упражнение 18.3.4.2). С увеличением числа ступеней функция g(x) становится все более прилегающей к функции f(x), и, следовательно, возрастает вероятность принятия полученного случайного значения как искомого. Однако получение тесно прилегающей мажорирующей функции влечет за собой дополнительные вычисления, которые могут стать чрезмерными, что, в свою очередь, может свести на нет преимущества высокой вероятности принятия полученных значений.

УПРАЖНЕНИЯ 18.3.4

1. В примере 18.3.6 продолжите выполнение процедуры метода отбора до получения следующего приемлемого случайного значения.

2. Рассмотрим плотность вероятности бета-распределения из примера 18.3.6. Определите двухступенчатую пирамидальную мажорирующую функцию g(x) с двумя равными скачками величины 0,75. Получите случайное значение, соответствующее бета-распределению, с использованием новой мажорирующей функции и тех же случайных чисел из интервала [0, 1] (табл. 18.1), которые использовались в примере 18.3.6. Вывод, который можно здесь сделать, сводится к тому, что использование более точной мажорирующей функции повышает вероятность принятия полученного значения как искомого. Заметьте, однако, что объем вычислений, связанных с использованием новой функции, увеличился.

3. Определите функции g(x) и h(x) для применения метода отбора к плотности распределения следующего вида:

. sin(x) + cos(x) ж

w 2 2

Используйте случайные числа из первого столбца табл. 18.1 для получения двух значений, соответствующих плотности распределения f(x). (Совет. Для удобства используйте прямоугольную функцию g(x) над областью определения функции f(x).)

4. Время между приходом клиентов в парикмахерскую описывается следующим распределением:

/(/)=у, 12 < г < 20.

Время стрижки является случайной величиной, плотность вероятности которой

/,(/) = £, 18<г<22.

Константы kx и кг выбираются из условия, что функции ft(x) и f2(x) являются плотностями вероятностей. Используйте метод отбора (и случайные числа из табл. 18.1), чтобы определить время ухода первого клиента из парикмахерской и время прихода второго клиента. Предположите, что первый клиент приходит в момент времени Т = 0.

18.4. ГЕНЕРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

Равномерно распределенные случайные числа из интервала [0, 1] играют ключевую роль в получении выборок из любого вероятностного распределения. Истинные случайные числа из интервала [0, 1] можно генерировать лишь с помощью электронных приборов. Так как имитационные модели реализуются на компьютере, использование электронных приборов для генерации случайных чисел слишком бы замедлило процедуру имитационного моделирования. Кроме того, электронные приборы активизируются случайным образом. Следовательно, невозможно по желанию воспроизвести одну и ту же последовательность случайных чисел. Этот факт чрезвычайно важен, так как для отладки, проверки и утверждения имитационной модели часто требуется дублирование одной и той же последовательности случайных чисел.

В имитационном моделировании единственным подходящим методом генерации случайных чисел из интервала [0, 1] является метод, основанный на арифметических операциях. Такие числа не являются истинно случайными, так как они могут быть определены заранее, поэтому их называют псевдослучайными.

Наиболее часто используется мультипликативный метод сравнений, который генерирует случайные числа из интервала [0, 1] с использованием арифметических операций. В соответствии с этим методом псевдослучайное число Rn при заданных значениях параметров и0, b,c,nm можно вычислить по следующей формуле:

ип = {bun x +c)mod(/w), = 1,2,..., и.

*.=-. = 1.2, .