Начальное значение параметра и0 обычно называют начальным числом генератора случайных чисел.

Варианты мультипликативного метода сравнений, которые генерируют случайные числа с улучшенными статистическими характеристиками, описаны в книге [2].

Пример 18.4.1

Используя мультипликативный метод сравнений, сгенерируем три случайных числа при следующих начальных данных: 6 = 9, с = 5, и0=11ияз=12.

ы, =(9xll + 5)modl2 = 8, R, = = 0,6667,

и2 =(9x8 + 5)modl2 = 5, Л2 =- = 0,4167,

M3=(9x5 + 5)modl2 = 4, R,= - = 0,3333.

Шаблон Excel chl8RandomNumberGenerator.xls реализует описанный мультипликативный метод сравнений.6 На рис. 18.7 показаны случайные числа, сгенерированные в соответствии с начальными данными этого примера. Отметим, что сгенерированная последовательность случайных чисел состоит только из четырех различных чисел, затем эти числа повторяются. Конкретный выбор параметров и0, Ь, с, и т является решающим фактором, определяющим статистические качества генератора случайных чисел, а также длины его цикла (по окончании цикла генерируемая последовательность начинает повторять себя, как на рис. 18.7). Использование параметров, выбранных наобум , не дает хорошего генератора случайных чисел. Надежные генераторы, наряду с достаточно большой длиной цикла генерируемых случайных чисел, должны пройти соответствующие статистические проверки, чтобы гарантировать равномерное распределение на интервале [0, 1] полученной последовательности. На это условие нужно обращать внимание при использовании непроверенного программного обеспечения в качестве генератора случайных чисел.

Рис. 18.7. Сгенерированные в Excel случайные числа

Excel обладает несколькими встроенными средствами генерирования случайных чисел. Так, функция СЛЧИС генерирует равномерно распределенные на интервале [0, 1] числа, средство Генерация случайных чисел из надстройки Пакет анализа позволяет генерировать случайные числа, имеющие различные вероятностные распределения, в том числе равномерное, нормальное, Пуассона. - Прим. ред.

УПРАЖНЕНИЯ 18.4

1. С помощью шаблона chl8RandomNumberGenerator.xls сгенерируйте последовательность случайных чисел с начальными параметрами Ь = 17, с= 111, и0 = 7 и/71= 103 (см. пример 18.4.1) и определите длину цикла этой последовательности.

2. Найдите программу генератора случайных чисел для вашего компьютера и сгенерируйте с его помощью 1000 случайных чисел из интервала [0,1]. Постройте гистограмму полученных чисел и визуально убедитесь в том, что есть веские основания считать, что они подчинены равномерному распределению из интервала [0, 1]. Впрочем, чтобы проверить последовательность надлежащим образом, вам необходимо использовать следующие тесты: критерий согласия хи-квадрат (раздел 12.6), тест на независимость и корреляционный тест [2].

18.5. МЕХАНИКА ДИСКРЕТНОЙ ИМИТАЦИИ

Как указывалось выше, все дискретные имитационные модели в той или иной форме представляют ситуации, связанные с очередями, в которых есть два типа основных событий: прибытие и уход. Эти события определяют моменты, в которые могут происходить изменения в статистике системы. В этом разделе детально обсуждаются вопросы сбора статистических данных, полученных в процессе наблюдений над имитационной моделью. В разделе 18.5.1 на числовом примере детально рассмотрена имитация простой модели очереди с одним сервисом. В разделе 18.5.2 показана реализация такого же процесса в электронной таблице Excel.

18.5.1. Ручная имитация модели очереди с одним сервисом

Время между приходом клиентов в парикмахерскую является случайной величиной, изменяющейся по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 15 мин. В парикмахерской работает один мастер, который выполняет мужскую стрижку от 10 до 15 мин., время стрижки имеет равномерное распределение на этом интервале. Клиенты обслуживаются в порядке очереди. Требуется определить следующие параметры работы парикмахерской.

1. Среднюю занятость парикмахера.

2. Среднее количество ожидающих клиентов.

3. Среднее время ожидания клиента в очереди.

Логику работы имитационной модели можно описать в терминах событий, связанных с прибытием и уходом клиентов, следующим образом. Событие, связанное с прибытием клиента

1. Сгенерировать и сохранить время события, связанного с прибытием следующего клиента (текущее время моделирования + промежуток времени между приходами клиентов).

2. Если средство обслуживания (парикмахер) свободно,

а) начать обслуживание поступившего клиента, изменить состояние системы на рабочее и скорректировать данные использования системы;

б) сгенерировать и сохранить хронологически время события, связанного с уходом клиента (текущее время моделирования + время обслуживания).

3. Если средство обслуживания занято, поставить поступившего клиента в очередь и увеличить ее длину на единицу.

Событие, связанное с уходом клиента (окончание обслуживания)

1. Если очередь пуста, объявить систему свободной. Скорректировать данные использования системы.

2. Если очередь не является пустой,

а) начать обслуживание первого в очереди клиента. Уменьшить длину очереди на единицу и скорректировать данные использования системы;

б) сгенерировать и сохранить хронологически время события, связанного с уходом клиента (текущее время моделирования + время обслуживания).

В рассматриваемом примере время между приходом клиентов изменяется по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 15 мин., а время обслуживания распределено равномерно в интервале от 10 до 15 мин. Обозначим через р и q случайные значения времени между прибытием клиентов и их обслуживанием соответственно. Используя результаты раздела 18.3.2, получаем

р = -10 1п(Д) мин., 0 < R <1,

q = 10 + 5Rмин., 0<R <1.

В этом примере используем случайные числа R из табл. 18.1, начиная с первого столбца. Обозначим через Т время моделирования (время наблюдения над моделью). Предположим также, что первый клиент приходит в момент времени Т = 0 и средство обслуживания свободно.

Поскольку в процессе имитации выполняется много вычислений, ограничимся имитацией прихода только пяти клиентов. При этом рассмотрим все возможные ситуации, возникающие в процессе имитации. В следующем разделе с помощью шаблона Excel покажем имитацию без проведения вычислений вручную.

Прибытие клиента 1 в момент Т = 0. Второй клиент прибудет в момент времени

Т = 0 +Pl = -15 1п(0,0589) = 42,46 мин.

Так как при Т = 0 система свободна, немедленно начинается обслуживание первого клиента. Соответствующее время обслуживания вычисляется с использованием равномерно распределенного случайного числа R= 0,6733. Первый клиент уйдет из парикмахерской в момент времени

7=0+9, = 10+ 5х 0,6733 = 13,37 мин. Получаем следующий хронологический перечень будущих событий

Уход клиента 1 в момент Т = 13.37. Так как очередь пуста, средство обслуживания становится свободным. В то же время фиксируем, что система была занята от момента времени Т = 0 до Т= 13,37. Имеем следующий скорректированный перечень будущих событий (в данном случае имеется только одно событие).