Определите следующие величины.

a) Среднее время работы парикмахеров.

b) Среднее время простоя парикмахеров.

18.5.2. Имитация модели очереди с одним сервисом в электронной таблице

Утомительные вычисления примера из раздела 18.5.1 указывают на необходимость использования компьютера как существенного инструмента для реализации имитационных моделей. В этом разделе будет показано, как создать рабочую книгу для имитации модели очереди с одним сервисом. Конечно, модель с одним сервисом очень проста и ее несложно смоделировать в электронной таблице. Для моделирования других моделей придется затратить больше усилий, но

использование специального программного обеспечения значительно облегчает эту работу (см. раздел 18.7).

В разделе 18.5.1 было показано, что для имитации модели очереди с одним сервисом необходимы два основных элемента.

1. Список событий модели, упорядоченный в хронологическом порядке.

2. Диаграмма, с помощью которой отслеживаются изменения использования средств обслуживания и длины очереди.

Эти два элемента также остаются важными при имитации модели в электронной таблице (это же относится и к компьютерной имитации вообще). Различие состоит только в методах регистрации изменений в модели. Пусть, как и в разделе 18.5.1, клиенты обслуживаются в порядке их прибытия (дисциплина FIFO).

На рис. 18.9 показан шаблон рабочей книги Excel (файл chl8SingleServer-Simulator.xls). Входные данные позволяют представить время между поступлениями и время обслуживания одним из четырех способов: в виде константы или случайных чисел, имеющих экспоненциальное, равномерное или треугольное распределения. Треугольное распределение полезно, поскольку с его помощью можно приближенно представить любое другое распределение. Для этого введите три числа а, Ь и с, которые соответствуют наименьшему, наиболее вероятному и наибольшему значениям времени между поступлениями клиентов в систему или времени их обслуживания. Кроме того, необходимо ввести еще один параметр имитируемой модели - длительность имитации, которая в этой модели определяется количеством сгенерированных поступлений.

~Ё F G Hi J К L М N О JBB Simulation of a Single-Server Queueing Model

Simulation Calculations

Output Summary

14 Av. facility utilization = 15]Percent idleness (%) =

16 /laximum queue length:

17 v queue length, Lq =

18 iAv nbr in system, Ls =

19 Av queue time. Wq = Й A system time, Ws =

21 Sum(ServiceTime) -

22 Sum(Wq) =

23 Sum(Ws)=

0S2 7.92 3

1 13

2 05 1533 ?-! B7

250 75 306 63 557 38

Press F9 to

trigger a

new simulation run

Рис. 18.9. Результаты имитации модели с одним сервисом в Excel

В шаблоне каждому поступлению клиента в систему соответствует одна строка. Время между поступлениями и время обслуживания для каждого клиента генерируются на основе исходных данных. Предполагается, что первое поступление

происходит в момент времени Т = 0. Поскольку средство обслуживания в начале работы свободно, то первый клиент обслуживается сразу. Поэтому

(время ухода клиента 1) = (время прихода клиента 1) 4- (время обслуживания клиента 1) =

= 0+ 14,35 = 14,35,

(время прихода клиента 2) = (время прихода клиента 1) + (время между приходами клиентов) = = 0+ 15,15= 15,15.

Для определения времени ухода других клиентов i используется следующая формула:

(время ухода \(время прихода (время ухода j (время обслуживания

клиента; J Н клиента/ ) у клиента /-ljj v клиента/

Из формулы видно, что клиент не может быть обслужен, пока сервис не освободится. Итак, из формулы и рис. 18.9 видно, что

время ухода клиента 3 = тах{18,89, 26,41} + 14,86 = 41,25.

Теперь обратим внимание на то, как формируются статистические данные модели. Сначала заметим, что для клиента i время ожидания в очереди W (I) и время пребывания в системе Ws(i) вычисляется по таким формулам:

время ухода ) (время прихода4] (время обслуживания клиента / J клиента / J клиента /

(время ухода4 время прихода клиента / ) у клиента / )

Может показаться, что для вычисления оставшихся статистических данных имитации модели необходимо отслеживать изменения в использовании сервиса и длины очереди, как это делалось в разделе 18.5.1. Но, применяя формулы, приведенные в конце раздела 18.5.1 (объяснение к которым дано на рис. 18.8), вычисления можно упростить, если использовать следующие соотношения.

1. Область под кривой использования сервиса = сумма времени обслуживания всех клиентов.

2. Область под кривой длины очереди = сумма времени ожидания всех клиентов.

Для использования этих соотношений вычисляется три суммы (ячейки Е21:Е23 на рис. 18.9):

сумма времени обслуживания = 248,66,

сумма значений W = 513,14,

сумма значений Wt = сумма значений Wq + сумма времени обслуживания = = 761,80 (= 248,66 + 513,14).

Поскольку последний клиент (клиент 20) ушел в момент времени Т = 252,64, следовательно

среднее время использования сервиса = 248,66/252,64 = 0,9842, средняя длина очереди = 513,14/252,64 = 2,03,

среднее время простоя сервиса, выраженное в процентах, вычисляется как

(1 - 0,9842) х 100 = 1,575 %. Остальные статистические данные вычисляются обычным образом.