называются зависимыми и независимыми переменными соответственно. Переписывая градиенты функций / и g в новых обозначениях, получим

V/(Y, Z) - (VY/, Vz/), Vg(Y, Z) = (VYg, Vzg). Введем в рассмотрение матрицы

fvYg, ] J=vYg= ; ,

c = vzg =

Матрица JmXm называется матрицей Якоби, a CmX((1 m) - матрицей управления. Матрица Якоби J предполагается невырожденной. Это всегда можно обеспечить, поскольку рассматриваемые т уравнений являются независимыми по определению. Поэтому компоненты вектора Y можно выбрать среди компонентов вектора X таким образом, что матрица J окажется невырожденной.

Исходную систему уравнений с неизвестными 9/(Х) и ЭХ можно переписать в следующем виде

a/(Y, Z) = VY/5Y + Vz/dZ,

JdY=-caz.

Так как матрица J невырожденная, существует обратная матрица J-1. Следовательно,

oY = - jcaz.

Подставляя это выражение 5Y в уравнение для 9/(Y, Z), можно выразить df через 9Z в следующем виде

a/(Y, Z) = (yzf-VYfJ1C)dZ.

Из этого уравнения получаем формулу для производных функции f по вектору независимых переменных Z

v£/ =

a./(v,z)

= vz/-vy/j-c,

где VJ представляет вектор приведенного градиента функции / по Z. Следовательно, вектор Vc/(Y,Z) должен обращаться в нуль в стационарных точках.

Достаточные условия экстремума в стационарной точке аналогичны изложенным в разделе 20.1. В этом случае элементы матрицы Гессе будут соответствовать компонентам вектора независимых переменных Z. Между тем элементы матрицы Гессе должны быть приведенными вторыми производными. Чтобы показать, как они вычисляются, положим

ve/ = vz/-wc.

Отсюда следует, что i-й строкой приведенной матрицы Гессе является вектор dVcf/dzt. Заметим, что W - функция от Y, a Y, в свою очередь, - функция от Z. Следовательно, при вычислении частной производной Vc/ по zt следует применять правило дифференцирования сложной функции, а именно

d\Vj d\Vj ду j

Пример 20.2.1

Рассмотрим следующую задачу.

/(X) = x,2+3x2+5x,x2,

g, (X) = х,х3 + 2х2 + xj -11 = о,

g2 (X) = л-,2 + 2xtx2 + х] -14 = 0.

Известна допустимая точка Х° = (1, 2, 3). Требуется оценить приращение функции/ (= 3J) в допустимой окрестности точки Х°.

Пусть Y = (хр х3) и Z = хг Имеем

vY/ =

v5x, &зУ

= (2х, +5л-32,10л-,л-3),

Vz/ = #- = 6x2> ох,

у2х{+2х2 2хъ)

Оценка приращения д/ в окрестности допустимой точки X =(1, 2, 3), вызванного малым изменением 8х2 = 0,01, получается следующим образом:

J-C =

Следовательно, приращение функции/с учетом ограничений равно

3J=(VZ/-VY/J-C)0Z =

6x2-(47,30)

2,83s

дх2 =-46,01&2.

Если указана величина изменения дхг независимой переменной х2, то допустимые значения дх1 и 8х3 зависимых переменных х, и х3 определяются по формуле

з\ = -rcaz.

При дх2 = 0,01 получаем

(сЬсЛ т. (-0,02831

= -J Сох, =

1, 0,0250)

Чтобы проверить точность полученной выше оценки для д/, можно вычислить значения функции/в точках Х° и Х° + ЭХ. Получаем

Х° + ЭХ = (1 - 0,0283, 2 + 0,01, 3 + 0,025) = (0,9717, 2,01, 3,025).

Отсюда следует, что

ДХ) = 58 иДХ° + дХ) = 57,523

Й/=ЛХ° + ЭХ) -ДХ°) = -0,477.

Полученный результат свидетельствует об уменьшении значения функции / по сравнению с вычисленным выше в соответствии с формулой для 8/. Это различие между двумя полученными результатами (-0,477 и -0,4601) является следствием линейной аппроксимации в окрестности точки Х°. Поэтому приведенная выше формула дает хорошие результаты лишь тогда, когда отклонения от точки Xе малы.

УПРАЖНЕНИЕ 20.2.1

1. Вернитесь к задаче из примера 20.2.1.

a) Вычислите величину 8J двумя способами, как это было проделано в примере, используя дх2 = 0,001 вместо дх2 = 0,01. Будет ли влияние линейной аппроксимации менее существенным при уменьшении величины Эдг2?

b) Установите зависимость между приращениями dxv дх2 и дх3 в допустимой точке Х° = (1,2,3) при условии, что точка (дг + дх х2 +дх2,х° +8х}) также является допустимой.

c) Если Y= (х2, х3) и Z = дг то каким должно быть значение Эдс чтобы величина приращения dj была такая же, как в рассмотренном примере?

Пример 20.2.2

Данный пример иллюстрирует процедуру использования метода приведенного градиента. Рассмотрим задачу

минимизировать /(X) = х\ + х\ + х]

g,(X) = x,+x2 + 3x3-2 = 0) g2(X) = 5x, + 2x2+x3-5 = 0.