Определяем экстремальные точки целевой функции при наличии ограничений следующим образом. Пусть Y = (* х2) и Z = х3. Тогда

VY/ =

= (2лг 2х2), 4J = $- = 2xv

45 2,

J =

( 2 3 5 3

Следовательно,

Vc/ = ! = 2a-,-(2x 2x2)

дсх,

( 2 3 5 V 3

10 28 . ---х,--х2 + 2хъ.

В стационарной точке выполняется равенствоУ/= 0, которое вместе с ограничениями g,(X) = 0 и g2(X) = 0 определяет искомую стационарную точку (или точки). В данном случае система уравнений

v/=o,

£,(Х) = 0, &(Х) = О,

имеет решение Х° (0,81, 0,35, 0,28).

Далее устанавливаем тип полученной стационарной точки путем проверки выполнения достаточных условий экстремума. Так как х3 - независимая переменная, из равенства У/= 0 следует, что

+ 2 =

10 28

dx, dx2 Ч*зу

+ 2.

В соответствии с методом Якоби получаем

Теперь путем подстановки находим, что

d2J 460 д,х\ 9

> 0 . Следовательно, X - точка

минимума.

Анализ чувствительности с помощью метода Якоби. Метод Якоби можно использовать для анализа чувствительности оптимального значения целевой функции / к малым изменениям правых частей ограничений оптимизационной задачи. В частности, можно определить, как повлияет на оптимальное значение функции / замена ограничения g,(X) = О на g,(X) = dgr Исследование такого типа именуется анализом чувствительности и в некотором смысле аналогично соответствующей процедуре, которая была рассмотрена в линейном программировании (глава 4). Следует однако заметить, что анализ чувствительности в нелинейном программировании приводит к результатам, справедливым лишь в малой окрестности экстремальной точки. Знакомство с такими процедурами будет полезно при изучении метода множителей Лагранжа.

Выше было показано, что

a/(Y, z> = vY/dY + vz/az,

dg = JdY + CdZ.

Предположим, что dg * 0, тогда

бт = jag-J c az.

Подставляя последнее выражение в уравнение для o/(Y, Z), получаем

o/(Y,z) = vY/i-ag+vc/az,

где Vc/ = VZ./ -VY/J~C, как было определено ранее. Полученное выражение для 5/(Y, Z) можно использовать при анализе изменений целевой функции f в малой окрестности допустимой точки Х°, обусловленных малыми изменениями dg и 5Z.

В экстремальной (фактически любой стационарной) точке Х0 = (Y0, Z0) приведенный градиент Vc/ должен быть равен нулю. Следовательно, в точке Х0 имеем

5/(Y0,Z0) = VYn/J-5g(Y0,Z0)

dg YJ

вычисленному в точке Х0. Это значит, что влияние малых изменений dg на оптимальное значение функции / можно оценить через скорость изменения функции / по отношению к изменениям g. Эти величины принято называть коэффициентами чувствительности.

Пример 20.2.3

Рассмотрим задачу из примера 20.2.2. Оптимальной точкой является Х0=(х,0,х20,х3°) = (0,81, 0,35, 0,28). Так как Y0 =(х,°,х20), то

Vv / =

чйх,йх2,

= (2х,°,2х2) = (1,62,0,70).

Следовательно,

= VYo/J-=(1,62,0,7)

( 2 П 3 3

5 Jl 3 3,

= (0,0876,0,3067).

Это свидетельствует о том, что изменение dgx = 1 приводит к увеличению значения целевой функции / приблизительно на 0,0867. Аналогично при dg2 = 1 имеет место увеличение значения/приблизительно на 0,3067.

Использование метода Якоби в задачах линейного программирования. Рассмотрим задачу линейного программирования.

Максимизировать г - 2л:, + Зхг

при ограничениях

JCj Ь Х2 Ь Х3 = б,

хг - х2 + xt = 3,

2> 3 4 -

Для каждого условия неотрицательности xf > 0 введем соответствующую (неотрицательную) дополнительную переменную w2. Таким образом, дгу - w2 = 0

или ху = w2. При такой замене условия неотрицательности становятся неявными,

и исходная задача принимает вид

максимизировать z = 2wf + 3w2

при ограничениях

w, + ve, + w, = 5,

= 3.

Для метода Якоби положим Y = (ц> и>2) и Z = (u>3, ц>4). (В терминологии линейного программирования векторы Y и Z образованы базисными и небазисными переменными соответственно.) Следовательно,

(2w,

J- =

J 1

4ve, 4vv,

J -1

4vv, 4ve,

w, и VV2 * 0,

так что

2w, 0 4 4 0 2w4,

,VY/ = (4w 6w2),Vz/ = (0,0),

Vc/ = (0,0)-(4w 6w2)

4vv, 4vv,

4ve2 4w2,

2w, 0 0 2w4

=(-5w3,w4).

Решение системы уравнений, состоящей из уравнения V/ = 0 и ограничений задачи, позволяет определить стационарную точку w1 = 2, w2=l, w3 = 0, w4 = 0. При этом матрица Гессе имеет вид