Промышленный лизинг
Методички
В методе дихотомического поиска значения х, и х2 симметричны относительно средней точки текущего интервала неопределенности. Это означает, что /, = 0,5(7,.,+ Д). Последовательное применение этого равенства доказывает, что длина конечного интервала неопределенности достигнет значения желаемой точности Д. Идея метода золотого сечения не такая очевидная. Заметим, что в методе дихотомического поиска вычисляются два значения f(xx) и f(x2), но после сравнения одно из них отбрасывается. В методе золотого сечения, то значение, которое отбрасывается в методе дихотомического поиска, сохраняется и используется на следующем шаге. Введем параметр а такой, что 0 < а < 1. Пусть х, = xR - a(xR - хJ, x2 = xL+afxR-xLJ. Тогда интервал неопределенности /, на шаге i равен или (xL, х2) или (х xR). Рассмотрим ситуацию, когда ll = (xL, хг). Здесь точка х, содержится в интервале /(. На шаге i + 1 в качестве точки х2 выбирается точка х, с предыдущего шага, т.е. х2(на шаге i + 1) = х,(на шаге г). Используя формулы для вычисления точек х, и х2, приведенные выше, это равенство можно переписать как xl + / х/на шаге U - хJ = xR - a(xR - xj или, еще раз применяя аналогичную формулу для х2(на шаге i), в виде xL + а[xL +а(xR- xj - xj = xR-a(xR- xj. Из последнего равенства после несложных преобразований получим VxR - хJ + a(xR - xj - (xR - xj = 0. Поделив последнее выражение на (xR - xL), получим уравнение относительно а: d + а-1 =0. Это квадратное уравнение имеет корни а = (-1±л/5)/2. Поскольку по условию 0 < а < 1, мы выбираем положительный корень а = (-1 + -Jb)12 = 0,681. Метод золотого сечения построен таким образом, что каждый последующий интервал неопределенности меньше предыдущего в а раз, т.е. = alt. По сравнению с методом дихотомического поиска этот метод сходится значительно быстрее (т.е. через меньшее число шагов получается интервал неопределенности заданной длины Д, содержащий х*). Кроме того, метод золотого сечения требует в два раза меньше вычислений, чем метод дихотомического поиска, поскольку на каждом шаге используются вычисления, выполненные на предыдущем шаге. Пример 21.1.1 Имеем следующую задачу. [Зх, 0<х<2, Максимизировать /(х) = < х 20 Гз+Т ~х~ Ясно, что максимум функции Дх) достигается в точке х = 2. В следующей таблице показаны вычисления для двух шагов методов дихотомического поиска и золотого сечения при Д = 0,1.
Продолжая вычисления, получим с заданной точностью интервалы, содержащие точку максимума функции f(x). На рис. 21.2 показан шаблон Excel ch21DichotomousGoldenSection.xls, предназначенный для поиска экстремумов функций описанными методами. Входными данными являются функция f(x) и константы a, b и Д. В данном примере функция f(x) задается в ячейке ЕЗ с помощью формулы =ЕСЛИ(СЗ<=2;3*СЗ;(-СЗ+20)/3) Отметим, что здесь ссылка СЗ играет роль переменной х. Константы а и Ь, введенные в ячейки В4 и D4, задают интервал поиска точки экстремума функции f(x). Значение предела точности Д вводится в ячейку ВЗ. Метод поиска задается путем ввода символа х в ячейку D5 (метод дихотомического поиска) или в ячейку F5 (метод золотого сечения). На рис. 21.2 для сравнения показаны результаты вычислений в соответствии с обоими методами. Как видно на рисунке, метод золотого сечения потребовал всего 40 % числа итераций, выполненных методом дихотомического поиска. УПРАЖНЕНИЯ 21.1.1 1. С помощью шаблона ch21DichotomousGoldenSection.xls решите задачу из примера 21.1.1, положив Д = 0,01. Сравните точность полученных результатов с данными, показанными на рис. 21.2. 2. Методом дихотомического поиска найдите максимумы следующих функций, полагая при этом, что Д = 0,05. a) /(*)= ;-т, 2<х<4; b) f(x) = х cosx, 0 < х < я; c) f(x) = хsinrcx, 1,5<х<2,5; d) f(x) = -(х - З)2, 2<х<4; ,. . \Ах, 0<*<2, W [4-х, 2<*<4. в с d в DichotomoirsGolden Section Seaich Input data: Type f(C3) in E3, where C3 represents x m ) oooootd 1 450000 1 450000 1 812500 1.812500 1 903125 1 948438 1 971094 1 982422 1.988086 1 988086 1 989502 1 989502 1 969856 1 969856 1 989944 I 989989 1 989989 1990000 1 990000 3OXO00 3OXO00 2 275000 2 275000 2093750 2 093750 2093750 2093750 2.093750 2.093750 2 090918 2 090918 2 090210 2 090210 2 0900ЭЗ 2 090033 2 0900ЭЗ 2 090011 2 090011 2090005 1 450000 2.175000 1 812500 1 993750 1 903125 1 948438 1 971094 1 982422 1 988086 1 990918 1 989502 1 990210 1 989856 1 990033 1 989944 1 9899B9 1 990011 1 990000 1.990005; 1 990003 1 550000 2.275000 1 912500 2 09Э750 2 003125 2 048438 2.071094 2 082422 2 088086 2 090918 2 089502 2 090210 2089856 2 090033 2 089944 2089989 2090011 2 090000 2090005 2 090003 4 350000 5 941667 5 437500 5981250 5 709375 5 845313 5913281 5 947266 5 964258 5 972754 5968506 5.9706X 5969568 5.970099 5 969833 5 969966 5 970033 5 969999 5 970016 5 970008 4 650000 5 908333 5 7Э7500 5 968750 5 998958 5 983854 5 976X2 5 972526 5 970638 5 969694 5 970166 59699X 5 970048 5 969969 5 97X19 5.970004 5 969996 5 9700ГО 5 969996 5 969999 ВС D 1 E Dichotomou&Golden Section Seaich Input data: Type t{C3) in E3. aiare СЗ гедч :ents и in fy> 0 000000 1 145898 1 854102 1 854102 1 854102 1 854102 1957428 1 957428 1 996894 3000000 30000X 3000000 2 562306 2 291796 2124612 2124612 2 060753 2 060753 1 145898 1 854102 2 291796 2124612 2 021286 1 957428 2021266 1.996894 2 021286 1 854102 2 291796 2 562Э06 2 291796 2124612 2 021286 2060753 2.021286 2 036361 3 437694 5 562306 5 902735 5 958463 5 992905 5 872283 5 992905 5 990683 5992905 5 562306 5.902735 5 812565 5 902735 5 958463 5 992905 5.979749 5 992905 5 987BB0 Рис. 21.2. Реализация методов прямого поиска в Excel Получите формулу для определения максимального числа итераций, выполняемых в методе дихотомического поиска при заданной величине Д и длине начального интервала неопределенности I0 = b- а. 21.1.2. Градиентный метод В этом разделе рассматривается метод решения задач нелинейного программирования с дважды непрерывно дифференцируемыми функциями. Основная идея метода заключается в построении последовательности точек с учетом направления градиента исследуемой функции. Одним из градиентных методов является изложенный в разделе 20.1.2 метод Ньютона-Рафсона, который ориентирован на решение систем уравнений. Здесь рассматривается еще один метод, который называется методом наискорейшего подъема2. В русскоязычной математической литературе описываемый метод, называемый методом наискорейшего спуска, ориентирован на решение задач безусловной минимизации. - Прим. ред. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 [ 259 ] 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 |