Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 [ 261 ] 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

2. Выполните не более пяти итераций метода наискорейшего спуска (подъема) для каждой из следующих задач. Во всех случаях положите Х° = О.

a) min/(Х) = (*2-*?)*+(1-х,)*.

b) max/(X) = сХ + ХГАХ, где

с = (1,3, 5),

с) min/(X) = X[-х2 +xf-х,х2.

21.2. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Общая задача нелинейного программирования с ограничениями записывается в виде:

максимизировать (или минимизировать) z = /(X) при ограничениях

g(X) <0.

Условия неотрицательности переменных X > 0 составляют часть заданных ограничений общего вида. Предполагается также, что по крайней мере одна из функций /(X) или g(X) является нелинейной, и все функции непрерывно дифференцируемы.

Универсальных алгоритмов решения задач нелинейного программирования не существует, и связано это, главным образом, с разнообразием нелинейных функций. Возможно, наиболее общим результатом, имеющим отношение к рассматриваемым задачам, являются условия Куна-Таккера. Как показано в разделе 20.2.2, эти условия являются необходимыми лишь для существования экстремума, за исключением ситуации, когда функции /(X) и g(X) являются выпуклыми или вогнутыми (тогда эти условия будут также достаточными).

В этом разделе рассматривается ряд алгоритмов решения задач нелинейного программирования, которые условно можно разделить на непрямые и прямые. В непрямых методах решение задачи нелинейного программирования сводится к решению одной или нескольких линейных задач, порожденных исходной. Прямые методы непосредственно имеют дело с исходной нелинейной задачей и позволяют построить последовательность точек, сходящуюся к точке экстремума.

В данном разделе непрямые методы представлены алгоритмами сепарабельного, квадратичного, геометрического и стохастического программирования. К числу прямых методов относится метод линейных комбинаций и метод последовательной безусловной максимизации, изложенный далее вкратце. С другими важными методами решения задач нелинейного программирования можно познакомиться, обратившись к приведенному в конце главы списку литературы.

21.2.1. Сепарабельное программирование

Функция /(ж х2.....хп) называется сепарабельной (разделимой), если она представляется в виде суммы п функций одной переменной /,(х,), f2(x2), / (* ), т.е. ffx х2,хJ = f,(x,) + f/xj + ... + f/xj.



К примеру, линейная функция

h(х хг,хJ = а,х, + арсг + ... + а.х (здесь at, i = 1, 2, п - константы) является сепарабельной. Функция же

h(.xl,x2,xi) = х\ +лг, sin(x, + х3) + х,е*

таковой не является.

Некоторые нелинейные функции сепарабельными непосредственно не являются, однако могут быть приведены к такому виду путем соответствующих подстановок. Рассмотрим, к примеру, задачу максимизации функции z = х,х2. Если ввести обозначение у = х,х2, то Iny = lnxt + lnx2 и задача принимает следующий вид.

Максимизировать z = у

при ограничении

\щ = lnx, + lnx2,

т.е. она является сепарабельной. При такой замене предполагается, что переменные х, и х2 принимают положительные значения, иначе логарифмическая функция не определена.

В случае, когда переменные х, и х2 принимают и нулевые значения (т.е. х х2 > 0), можно поступить следующим образом. Пусть Sx и 82 - положительные константы, введем новые переменные wx = х, + 8Х и w2 = х2 + 52. Эти переменные принимают только положительные значения. Теперь имеем

х,х2 = wxw2 - 82wl - 8xw2 + 5Х52.

Пусть у = wxw2, тогда исходная задача эквивалентна следующей.

Максимизировать2 = у - 82и>х - Sxw2 + 8Х62

при ограничениях

1ш/= lnw, + lnw2, wx>Sv w2>52.

В этой задаче все функции сепарабельные.

Примерами других функций, которые в результате замены переменных приводятся к сепарабельным, могут служить е*- и х, : . В этих случаях для реализации

свойства сепарабельности следует применить соответствующий вариант описанной выше процедуры.

В сепарабельной программировании рассматриваются задачи нелинейного программирования, в которых как целевая функция, так и функции ограничений являются сепарабельными. В этом разделе рассматриваются методы приближенного решения задачи сепарабельного программирования, основанные на линейной аппроксимации функций и на симплекс-методе линейного программирования.

Функцию одной переменной f(x) можно аппроксимировать кусочно-линейной функцией с помощью методов частично-целочисленного программирования (глава 9). Пусть требуется аппроксимировать функцию f(x) на интервале [а, Ь]. Обозначим через ак, k=l, 2, К, k-ю точку разбиения интервала [а, Ь], причем а = а, < а2 < ... < аК - Ъ. Тогда функция /(х) аппроксимируется следующей кусочно-линейной функцией:

*=1 *=i



где tk - неотрицательный весовой коэффициент, связанный с fe-й точкой разбиения интервала. Весовые коэффициенты удовлетворяют условию

Методы частично-целочисленного программирования гарантируют корректность такой аппроксимации. В частности, аппроксимация является обоснованной в следующих случаях.

1. Если не больше двух весовых коэффициентов tk имеют положительные значения.

2. Если значение tk больше нуля, то положительным может оказаться лишь один из смежных весовых коэффициентов tk+1 или tk x.

Чтобы показать, как выполняются перечисленные условия, рассмотрим общую задачу сепарабельного программирования.

Максимизировать (минимизировать) z = (х>)

при ограничениях

2>/7 = 1,2.....т.

Эту задачу можно привести к задаче частично-целочисленного программирования следующим образом. Обозначим через К, число точек разбиения для i-й переменной х а через а- - k-ю точку разбиения. Пусть f* - весовой коэффициент, ассоциируемый с k-й точкой разбиения для i-й переменной. Тогда эквивалентная задача частично-целочисленного программирования имеет вид

максимизировать (или минимизировать) г = Х- (а* К

: = 1 *=1

при ограничениях

±ts!Wr у = 1,2,...,и.

1=1 *=i

0<t<y], i=l, 2,.... re, 0<г* < у,* 1 +у* к = 2,3.....AT, - I,

К,-1

у{=0 или 1, it = 1,2.....К = 1,2,...,л.

В аппроксимирующей задаче переменными являются / и у- .

Данное представление свидетельствует о том, что в принципе любая задача сепарабельного программирования может быть решена методами частично-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 [ 261 ] 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292