Пример 21.2.5

Рассмотрим задачу

минимизировать г = 5.v,.v, + 2.v, .v, + 5.v, + .vj1. Условия ортогональности и нормировки приводят к системе уравнений

1-11 0 1 10-1 1 11 1

Уз 04

Поскольку N > п + 1, эти уравнения не позволяют непосредственно определить искомые значения у/. Выражая уи у2 и у, через у4, имеем

V, =-

I - 3 \-

Двойственную задачу можно записать в следующем виде.

Максимизировать iv =

-.0.5(1 3..I

0,5(1-Зу4)

0.5(1- у4)

Из уравнения U) = y)z следует, что

7,v,.v, = (/, =-(15,23) = 7,615,

3.v,jc,2 ={/, =-(15,23) = 2,538,

5л,3хЛ=(/3=(15.23) = 3,173,

.v,.v:.v, = U4 = -(15.23) = 1,904. 8

Эта система имеет решение =1,316, л* =1,21, .vj =1,2, которое является оптимальным решением прямой задачи.

Максимизация w эквивалентна максимизации функции lnw, переход к которой упрощает вычисления. Получим

lnw = 0,5(1 - 3y4){lnl0 - 1п(1 - Зу4)} + 0,5(1 - у4){1п4 - ln(l - у4)} + у4{1п5 - 1лу4 + lnl - 1пу4}.

Значение у4, максимизирующее функцию lnw, должно быть единственным, поскольку прямая задача имеет единственный минимум. Следовательно,

+ln 5-{1+1пу4}+1п 1-{1+1пу4} = 0. После упрощений получаем

Г(1-3,у4)?(1-у4)?

Л/(1-Зу4)3(1-.у4)

= 12,6,

откуда у* =0,16 . Следовательно, у3=0,16, у2=0,42 и у,* = 0,26. Значение г* вычисляется по формуле

Следовательно,

, \0.26/ \0.42 / , ч0.16

:w=- u- Ш =9,66..

,0,26; I 0,42J I 0,16J

c/3 = 0,16x9,661 = l,546 = 5xi, Ut =0,16x9,661 = 1,546 = х2.

Отсюда имеем х =0,309 и хг =0,647 ,

УПРАЖНЕНИЯ 21.2.3

1. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2xj xj + х\х~2 + 4х2 п ри х х2 > 0.

2. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 5х{х2х] + х,2х3~ + 10х2 + 2xj x2x3 3 при xv х2, х3 > 0.

3. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2х]х2 + 8х7гх2 + Зх,х2 при xlt х2 > 0.

4. Решите следующую задачу методом геометрического программирования. Минимизировать z = 2х]х~2 + \х\гх2 + х,х, при х х2 > 0.

21.2.4. Стохастическое программирование

В стохастическом программировании рассматриваются задачи, в которых отдельные или все параметры являются случайными величинами. Такие ситуации типичны в реальных задачах, когда трудно определить точные значения параметров.

Основной подход к решению задач стохастического программирования состоит в преобразовании исходной вероятностной задачи в эквивалентную детерминированную. В данном разделе рассматривается оптимизационная задача с вероятностными ограничениями, которая имеет следующий вид.

Максимизировать z = YJcjxj

при ограничениях

ХаЛ - - ~ai 1 = 1>2,.Xj>0 для всех j.

Название вероятностные ограничения обусловлено тем, что каждое ограничение задачи должно выполняться с вероятностью не меньшей, чем 1 - а О < at < 1. Предполагается, что все коэффициенты at. и Ь1 являются случайными величинами. Далее рассматриваются три варианта. Первые два соответствуют предположениям о том, что только или а или 6 являются случайными величинами, а третий объединяет эти два случая. Во всех трех ситуациях предполагается, что параметры являются нормально распределенными случайными величинами с известными математическими ожиданиями и дисперсиями.

Ситуация 1. Предполагается, что все ац являются нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями М{а(.} и дисперсиями D{a:j}. Также известны ковариации cov{aira.y} случайных величин а; и а...

Рассмотрим i-e ограничение задачи

и введем обозначение

hi=Yja,jxj.

Случайная величина Л. имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M{hl} = j .=iM{aij}xj и дисперсией D{h} = XrD,X, где Х = (* х2, ...,хп)т,

I), = /-я матрица ковариации

Теперь имеем

D{an} cov{an,ahlY cov{a, ,aa} D{all)

\h-M(k) h-M(h)\ Р{п,<ЬЛ = Р{ , <-,-i=4>l-a