h-M(h)

где - - стандартная нормально распределенная случайная величина с ну-

левым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Это означает, что

P\h <!>,} = Ф

b,-M(h,)

где через Ф обозначена функция распределения стандартного нормального распределения.

Пусть Ка - значение стандартной нормально распределенной случайной величины, определяемое из уравнения

Ф(К . ) = !- ,

В этом случае неравенство P{h. < b) > 1 - at выполняется тогда и только тогда, когда

b,-M{h,)

Это приводит к детерминированному нелинейному ограничению, которое эквивалентно исходному вероятностному

В частности, если ац - независимые нормально распределенные случайные величины, тогда cov{av,a = 0 , и последнее неравенство принимает вид

iM{a,}xl + Kj±D{av}x]%b,.

1-1 \ 1-1

Данное ограничение можно записать в виде ограничений задачи сепарабельного программирования (раздел 21.2.1), для чего используется замена переменных

> = /; К К2 лля всех

Таким образом, исходное ограничение эквивалентно неравенству и уравнению

±о{ая}х]-у;=0.

Ситуация 2. Здесь предполагается, что только bt является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием М{Ь) и дисперсией D{b). Анализ этой ситуации проводится аналогично предыдущей. Рассмотрим стохастическое ограничение

P\bl>\ydailx]\>ar

Как и в первом случае, имеем

Yjaiixj-M{bi)

>а..

Это ограничение выполнимо лишь при выполнении неравенства

<к .

Итак, исходное вероятностное ограничение эквивалентно детерминированному линейному

Ситуация 3. Теперь предположим, что все параметры atj и bt являются нормально распределенными случайными величинами. Перепишем ограничение

в виде

Так как все atj и bt распределены по нормальному закону, в соответствии с известными результатами математической статистики величина Е =1аЛ также

имеет нормальное распределение. Отсюда следует, что данный вариант подобен варианту 1 и может быть рассмотрен аналогичным образом.

Пример 21.2.6

Рассмотрим задачу с вероятностными ограничениями

максимизировать г = 5х, + 6х2 + Зх,

при ограничениях

Р{аих, + а12х2 + ацх} < 8} > 0,95,

P{5xt +х2 + 6хъ<Ь2\> 0,10,

причем все х;>0. Пусть - независимые нормально распределенные случайные величины со следующими значениями математических ожиданий и дисперсий

M{an} = l,M{al2} = 3,M{aJ = 9,

D{au) = 25, D{aJ = 16, D{aJ = 4.

Пусть параметр Ьг является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 7 и дисперсией 9.

По таблице функции распределения стандартного нормального закона (приложение В) находим

Кщ=Кот~ 1,645, tfQj =* ., = 1,285.

Первое ограничение задачи эквивалентно детерминированному неравенству

х, + Зх, + 9х3 +1,645N/25x12 + 16x;+4x2 < 8,

а второе ограничение - неравенству

5х, +х2 + 6х3< 7 + 1,285 х 3 = 10,855.

Если положить

у2 = 25х2 + 16х] + 4х3, исходная задача принимает следующий вид:

максимизировать г = 5х, + 6х2 + Зх3

при ограничениях

х, + Зх2 + 9х3 + 1,645у < 8, 25х12 + 16х2+4х2-у2 =0, 5х, +х2 + 6х3< 10,855,

*1> Х2 Х3> У- 0>

и может быть решена методами сепарабельного программирования.

На рис. 21.6 показано решение рассматриваемой задачи стохастического программирования в Excel (файл ch21SolverStochasticProgramming.xls). В данном случае нелинейной является только левая часть второго ограничения, которая вводится в ячейку F7 в виде формулы

=25 *В 12Л2+16С12A2+4*D 12Л2-Е 12л2

УПРАЖНЕНИЯ 21.2.4

1. Преобразуйте следующую задачу стохастического программирования в эквивалентную детерминированную модель.

Максимизировать z = х, + 2х2 + 5х3

при ограничениях

Р{а,х, + Зх2 + а3х3 < 10} > 0,9, Р{7х, + 5х2 + х3<Ь2}>0,1, хр х2, х3 > 0.

Пусть а, и а3 являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями М{а1) = 2 и М{а3} = 5 и дисперсиями D{al) = 9 и D{a3} = 16. Предполагается также, что Ьг - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 15 и дисперсией 25.