А. 1.4. Линейная независимость векторов

Векторы Р Р2, Р называются линейно независимыми, если равенство

выполняется тогда и только тогда, когда все 6; равны нулю (Qj - произвольные действительные числа). Если указанное равенство выполняется при некоторых 60, то векторы Pj, Р2, Р называются линейно-зависимыми. Например, векторы Pj = (l,2) и Р2 = (2, 4) линейно зависимы, поскольку существуют ненулевые числа 9j = 2 и 92 = -1, при которых выполняется равенство

в.р. + вл-о.

А.2. МАТРИЦЫ

А.2.1. Определение матриц

Матрицей называется прямоугольный массив элементов, структурированный строками и столбцами. В матрице А элемент ац расположен на пересечении i-й строки и у-го столбца массива. Говорят, что матрица имеет порядок (размерность) тхп, если она состоит из т строк и п столбцов. Например, матрица

имеет размерность 4x3. А.2.2. Типы матриц

1. Квадратная матрица - это матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов (т.е. т = п).

2. Единичная матрица - квадратная матрица, у которой все диагональные

элементы равны 1, а все недиагональные матрица порядка 3x3 имеет вид

\ О О

нулю. Например, единичная

О 1 О

10 0 1,

3. Вектор-строка - матрица, имеющая одну строку и п столбцов.

4. Вектор-столбец - матрица, имеющая т строк и один столбец.

5. Матрица Аг называется транспонированной к матрице А, если элемент atj матрицы Ат равен элементу ар матрицы А. Например,

fl

и Аг:

1 2 3 4 5 6

6. Матрица В называется нулевой (В = 0), если все ее элементы равны нулю.

7. Две матрицы А = а,у и В = равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и atj = Ъц для всех i и j.

А.2.3. Арифметические операции над матрицами

Для матриц определены только операции сложения (вычитания) и умножения. Операция деления матриц не определена, но в некоторых случаях ее может заменить операция обращения матриц (см. раздел А.2.6).

Сложение и вычитание матриц. Сложение (вычитание) двух матриц А =

иВ = возможно только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Матрица суммы получается путем сложения элементов матриц А и В, т.е.

D=A+B=IKL=K+L-

Для произвольных матриц А, В и С, имеющих одинаковую размерность, справедливы следующие соотношения.

А ± В = В ± А (свойство коммутативности)

А ± (В ± С) = (А ± В) ± С (свойство ассоциативности)

(А±В)Г = АТ±ЪТ

Произведение матриц. Произведение АВ матриц А= в,у и В = определено

тогда и только тогда, когда количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Таким образом, если матрица А имеет размерность mxr, матрица В должна иметь размерность г х п, где шип - произвольные положительные целые числа. Пусть D = АВ. Тогда матрица D имеет размерность m х п, и ее элементы dtj для всех i и j определяются формулой

4, = 2>А

Например, если

и В =

5 7 9\

6 8 0

((1x5 + 3x6) (1x7+3x8) (1x9 + 3x0) (2x5 + 4x6) (2x7 + 4x8) (2x9 + 4xO)J

23 31 9 ~ ч34 46 18)

В общем случае АВ Ф ВА, даже если произведение ВА определено. Произведение матриц обладает следующими свойствами.

ImA = А1 = А, где Im и 1 - единичные матрицы,

(АВ)С = А(ВС),

С(А + В) = СА + СВ,

(А+В)С = АС + ВС,

ос(АВ) = (аА)В = А(аВ), а - скаляр.

Умножение блочных матриц. Пусть матрицы А и В имеют размерности тхг и rx п соответственно. Предположим, что эти матрицы представимы в виде совокупности подматриц (блоков):

причем для всех I и j число столбцов в блоке А,у равно числу строк в блоке В/(. Тогда

А В,2+А12В22+А,зВ3Л

АхВ =

АцВ + А12В2, + А13В3

Например,

А21В +А22В21+А23В3

0)(4) + (2 3)

A2iBj + А22В22 + AB

1\ (О 5

orb .

4 + 2 + 241

41 (40 +

30> 44 61

А.2.4. Определитель квадратной матрицы

Для квадратной матрицы

порядка п рассмотрим произведение ее элементов

где каждый столбец и каждая строка матрицы А представлены в точности одним элементом. Определим величину еЛЛ и , равную +1, если множество индексов / j2,

jn получено из множества натуральных чисел 1, 2, п четным числом парных перестановок, и равную -1 - в противном случае. Тогда скалярная величина

d€hk-i. Pj,h--J. р

где суммирование ведется по всем л! перестановкам индексов / )г, jn, называется определителем (детерминантом) матрицы А. Определитель матрицы обычно обозначается как detA или А.

Например, если

то А = ап(а22а33 - а23а32) - а12(а21а33 - а31а23) + а13(а21а32 - а22а31). Определители обладают следующими свойствами.

1. Если все элементы какого-нибудь столбца или строки матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю.

2. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. АГ = А.