3. Если матрица В получена из матрицы А путем перестановки двух каких-либо строк (или двух столбцов), тогда В = -А.

4. Если две строки (или два столбца) в матрице одинаковы, то ее определитель равен нулю.

5. Значение определителя не изменится, если какую-либо строку матрицы (столбец) умножить на скаляр и затем прибавить ее к другой строке (столбцу).

6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) умножить на скаляр а, то значение определителя также будет умножено на это число а.

7. Если А и В - две квадратные матрицы порядка п, то

АВ = А В.

Определение минора. Минором Mtj элемента atj в определителе n-го порядка А называется определитель (n-l)-ro порядка, получаемый после вычеркивания в матрице А i-й строки и /-го столбца. Например, в определителе матрицы

имеем миноры

Присоединенная матрица. Обозначим через Atj = (-1)+М,у алгебраическое дополнение элемента atj квадратной матрицы А. Тогда матрица, присоединенная к матрице А, определяется соотношением

(\\ Ai Аг Аг

adjA = A,f =

Например, если

(\ 2 з

2 3 2 13 3 4,

тоА = (-1/(3 х 4 - 2 х 3) = 6, А12 = (-1/(2 х 4 - 3 х 2) = -2, и т.д. Отсюда получаем

adjA =

6 1 -5 -2 -5 4 -3 3 -1

А.2.5. Невырожденная матрица

Рангом матрицы называется порядок наибольшей квадратной подматрицы, определитель которой отличен от нуля. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется матрицей полного ранга или невырожденной матрицей. Например, матрица

2 3 4

3 5 7

является вырожденной, поскольку

А = 1х(21 - 20) - 2х(14 - 12) + Зх(10 - 9) = 0. Вместе с тем матрица А имеет ранг г =2, так как

(\ 2\

2 3

= -1*0.

А.2.6. Обратная матрица

Если В и С - две квадратные матрицы порядка п, причем такие, что ВС = СВ = I, тогда матрица В называется обратной к матрице С, при этом матрица С также будет обратной к матрице В. Обратные матрицы обозначаются как В-1 и С 1.

Теорема. Если ВС = I и В - невырожденная матрица, тогда С = В 1, причем матрица С определяется единственным образом.

Доказательство. По условию теоремы ВС = I. Тогда, умножая это равенство справа на В 1, получим В ВС = В 11, откуда следует, что 1С = В 1 или С = В 1. Теорема доказана.

Для невырожденных матриц справедливы также следующие результаты.

1. Если А и В невырожденные квадратные матрицы одинаковой размерности, то (АВ) 1 = ВА 1.

2. Если А - невырожденная матрица, то из равенства АВ = АС вытекает, что В = С.

Обратные матрицы находят применение при решении систем линейных уравнений. Рассмотрим систему из п линейных независимых уравнений

21 22 аЪ, Х2 h

2 ,JUJ \Kj

где xt - неизвестные, а, и bt - заданные константы. Эта система в матричной форме запишется

АХ = Ь.

Поскольку уравнения системы линейно независимы, матрица А будет невырожденной, и, следовательно, будет существовать обратная к ней матрица. Таким образом, имеем

А АХ = А 1Ь, откуда получаем решение системы: X = А 1Ь.

А.2.7. Методы вычисления обратных матриц

Метод присоединенной матрицы. Для невырожденной матрицы А порядка п справедлива формула

А~=АасУА = Л А А

Например, для матрицы

(\ 2 3

имеем adjA =

f 6 2 3

-5 3

и А = -7. Поэтому

А =-

6 -2 -3

-5 4

1 1 2 7 3 7

Метод последовательных исключений (метод Гаусса-Жордана). Рассмотрим блочную матрицу (А 11), где А - невырожденная матрица. Умножая слева эту матрицу на матрицу А1, получим

(А 1 А A I) = (I А 1).

Таким образом, при последовательном преобразовании строк исходной матрицы, обеспечивающем преобразование матрицы А в I, одновременно матрица I преобразуется в матрицу А 1.

Рассмотрим систему линейных уравнений

(\ 2 3 2 3 2 Ъ 3 4,

Вектор решений X и матрицу, обратную к матрице данной системы, можно получить из соотношения

А (А 111 b) = (I А 11 Ab).

Реализация метода последовательных исключений приводит к следующей последовательности действий. Исходная матрица имеет вид