Итерация 1

Итерация 2

Итерация 3

f\ О О

<\ о

О 1

-5 4 7

-2 -3

-3 2 3

О О

О 1 о

О 0 1

7 2 7 3 7

2 -1 -3

7 5 7 3 7

3> -2 -4

Таким образом, получили решение системы х, = 3/7, х2 = 6/7 и х3 = 2/7. Обратная матрица А приведена справа от единичной матрицы и совпадает с обратной матрицей, полученной методом присоединенной матрицы.

Мультипликативное представление обратной матрицы. Предположим, что две невырожденные матрицы В и Вслед различаются только одним вектор-столбцом. Пусть также дана обратная матрица В1. Имея матрицу В-, можно вычислить матрицу BjCJJ с помощью формулы

В1 =ЕВ .

след

Матрица Е находится следующим образом. Обозначим через Р. вектор-столбец матрицы В, который в матрице Вслед заменен на вектор-столбец Рг. Тогда матрицу Е можно определить как m-мерную единичную матрицу, у которой r-й столбец заменен следующим столбцом.

-(В-Р,.),

-(в-р,).

(В РД

<- г-и элемент

-(В-р,),

Здесь предполагается, что (В Р)г*0, в противном случае обратной матрицы Bi, не существует.

Докажем справедливость формулы В~лсд = ЕВ-1. Обозначим через F лг-мерную

единичную матрицу, у которой r-й столбец заменен столбцом В 1Р;, т.е.

F-(e1,...,e 1,B-,P, ern, ...,ej.

Поскольку матрица Вслсд отличается от матрицы В только r-м столбцом, который в матрице Вс1ед совпадает с вектором Р;, то легко проверить равенство

Отсюда получаем

*С =(BF)=F,B1.

Теперь осталось положить Е = F~ .

Мультипликативная форма используется для вычисления матрицы, обратной к любой невырожденной матрице В. Вычисления начинаются с матрицы В0 = I = В . Далее строится матрица Bt как единичная матрица, у которой первый столбец совпадает с первым столбцом матрицы В. Тогда

В~ =£,80 =Е,1 = Е, .

Далее подобным образом строится матрица В2 и вычисляется В;. На i-м шаге,

если на основе единичной матрицы путем замены ее первых i столбцов столбцами матрицы В построена матрица В то

В(-1 = ЕВ( , - EjEjB,, =... - Е(ЕГ..Е,.

Это означает, что для исходной матрицы В обратную к ней можно вычислить по формуле В; =Е, Е, -,-Е1

Следующий пример иллюстрирует применение мультипликативного представления обратной матрицы. Пусть дана следующая матрица, для которой надо вычислить обратную.

r2 1 ОЛ

0 2 0 4 0 1

Шаг О

вп=в; =

(\ о ол 0 1 о 0 0 I

Шаг!

В, =

(2 0 0 0 1 о 4 0 1,

BP =Р

Е, =

1 >* +-0 0 2

1 0 0 1

Шаг 2

В2 =

{г 1 о) о 1 о

4 0 1

в, в-р.

0 1 о -2 0 1

е, =

2 О

+ 1/2 О [О -(-1)12 1

\ -I о

О I О 2

О 1 1

в = в; =е,в, =

1 - о

о I О

О 1 1

О 1 о -2 О 1

2 О -2

- О

Метод блочных матриц. Пусть две невырожденные матрицы А и В представимы в следующем блочном виде, причем подматрица Ап невырожденная.

Пусть В будет матрицей, обратной к матрице А. Тогда из равенства АВ = 1л следует, что

AnBu+A12B21=I А В12 + А12В22 = 0. Аналогично из равенства ВА = 1п получаем

В21Ап+В22А21=0,

B2tA12 + В22А22 = 1?.

Так как подматрица А невырожденная, то АИ * О, и существует обратная матрица А 1. Тогда из приведенных уравнений получаем

В - A +(A A12)D-1(A21A I),

B12 = -(A-AI2)D-1,

B.-D-CAA-),

B22-D ,

гдеБ = A22-A2,(A-A12).

Для иллюстрации применения этих формул разобьем матрицу

на блоки Ап = (1), А12 = (2, 3), А21 =

Здесь А , = 1 и

3 2 3 4

(D(2, 3) =

-1 -4Ч

-3 -5,