А.З. Квадратичные формы

D=--

Г-5 4 3 -1

( 5 4

3 J

Далее вычисляем

~i ,в,2=В 1,В2,:

Теперь нетрудно получить матрицу В = А 1.

А.З. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Пусть X = (х1У хг.....xf и

Тогда функция

2(Х) = ХгАХ = ХЕхЛ

называется квадратичной формой. Всегда можно считать, что матрица А симметрическая. В самом деле, значение квадратичной формы не изменится, если каждый коэффициент из пары ац и ajt (i Ф j) заменить на (ati + а)/2. В дальнейшем свойство симметричности матрицы А будет предполагаться. Для примера приведем квадратичную форму

которая совпадает с формой

Отметим, что во второй квадратичной форме матрица симметрическая. Различают следующие типы квадратичных форм.

1. Квадратичная форма называется положительно определенной, если Q(X) > О для всех X Ф О.

2. Квадратичная форма называется положительно полуопределенной, если Q(X) > 0 для всех X и существует такой вектор X Ф О, что Q(X) = 0.

3. Квадратичная форма Q(X) называется отрицательно определенной, если квадратичная форма -Q(X) является положительно определенной.

4. Квадратичная форма Q(X) называется отрицательно полуопределенной, если квадратичная форма -Q(X) является положительно полуопределенной.

5. Во всех остальных случаях квадратичная форма называется неопределенной.

Можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями того, что квадратичная форма будет принадлежать одному из перечисленных выше типов, являются следующие утверждения.

1. Квадратичная форма Q(X) будет положительно определенной (полуопределенной), если значения всех угловых миноров определителя А положительны (неотрицательны).1 В этом случае матрица А называется положительно определенной ( полуопределенной).2

2. Квадратичная форма Q(X) является отрицательно определенной, если значения fc-x угловых миноров определителя А отличны от нуля и имеют знак (-1)*, k = 1, 2,п. В этом случае матрица А называется отрицательно определенной.

3. Квадратичная форма Q(X) является отрицательно полуопределенной, если значения fc-x угловых миноров определителя А равны нулю либо имеют знак (-1)*, ft-1,2,..., в.

А.4. ВЫПУКЛЫЕ И ВОГНУТЫЕ ФУНКЦИИ

Функция /(X) называется строго выпуклой, если для произвольных двух различных точек X, и Х2 выполняется неравенство

/(XX, + (1 - Х)Х2) < X ДХ,) + (1 - X)f(X2),

где 0 < Х< 1. Функция /(X) называется строго вогнутой, если функция -/(X) - строго выпукла.

Специальным случаем выпуклой (вогнутой) функции является квадратичная форма3

/(X) = СХ + ХГАХ,

где С - вектор констант, а А - симметрическая матрица. Можно показать, что функция /(X) будет строго выпуклой, если матрица А положительно определенная, и строго вогнутой, если А - отрицательно определенная матрица.

fc-м угловым минором определителя матрицы А х называется определитель вида к = 1,2,.

В этой формулировке допущена неточность относительно положительно полуопределенных форм: квадратичная форма будет положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда все главные миноры определителя матрицы А будут неотрицательны. Главными минорами называются определители, полученные путем вычеркивания из матрицы А строк и столбцов с одинаковыми номерами, т.е. главные миноры симметричны относительно главной диагонали. - Прим. ред.

3 Строго говоря, здесь приведена не квадратичная форма, а сумма квадратичной и линейной форм. - Прим. ред.

Литература

ЛИТЕРАТУРА

1. Hadley G. Matrix Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1961.

2. HohnF. Elementary Matrix Algebra, 2nded., Macmillan, New York, 1964.

3. Press W., Flannery В., Teukolsky A. and Vettering W. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, Cambridge, England, 1986.

Литература, добавленная при переводе

1. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. - М.: Наука, 1967.

2. Ланкастер П. Теория матриц. - М. Наука, 1978.

3. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.

ЗАДАЧИ

А.1. Покажите, что следующие векторы являются линейно-зависимыми.

А.2.

А.З. А.4.

А.5.

найдите

a) А + 7В;

b) 2А-ЗВ;

c) (А + 7В)Г.

Для матриц из задачи А.2 покажите, что АВ * ВА. Даны блочные матрицы

И В:

2 3

1 2 3 1

-4 5

6 7 0 9

Найдите произведение АВ, используя блочную структуру матриц.

Для матриц из задачи А.2 найдите А 1 и В-1

a) методом присоединенной матрицы,

b) методом последовательных исключений,