c) используя мультипликативное представление обратных матриц,

d) методом блочных матриц. А.6. Даны матрицы

(2 О 4

Предположим, что в матрице В третий вектор-столбец Р3 заменяется на вектор-столбец V3 = Р, + 2Р2. В этом случае полученная матрица будет вырожденной. Покажите, как с помощью мультипликативного представления обратной матрицы можно обнаружить вырожденность исходной матрицы.

А.7. С помощью мультипликативного представления обратной матрицы определите, какая из следующих систем уравнений имеет единственное решение, не имеет решения или имеет бесконечно много решений.

a) х, + 2х2 = 3, х, + 4х2 = 2.

b) х, + 2х2 = 5, -х, - 2х2 = -5.

c) х]+х3 = 5, 4х, + х2 + Зх3 = 8, х, + Зх2 - 2х3 = 3.

А.8. Проверьте правильность формул вычисления обратных матриц с блочной структурой, приведенные в подразделе А.2.7.

А.9. Найдите матрицу, обратную к матрице

где В - невырожденная матрица.

АЛО. Покажите, что следующая квадратичная форма является отрицательно определенной.

Q(xt, х,) = 6х, + Зх, - 4х,х, - 2х,2 - Зх2.

А.11. Покажите, что следующая квадратичная форма является положительно определенной.

2(х х х3) = 2xj + 2х; + 3х3 +2х,х, + 2х,х3. А.12. Покажите, что функция /(х) = е строго выпукла на всей действительной оси. А. 13. Покажите, что квадратичная форма

/(х х х3) = 5х, + 5х3 +4х3 +4х,х, + 2х,х3.

является строго выпуклой. А.14. В условиях задачи А. 13 покажите, что функция-f(xv х2, х3) строго вогнута.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

TORA. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ

Программная система оптимизации TORA - это Windows-приложение, в котором реализовано большинство алгоритмов, рассматриваемых в этой книге. Достоинством этой программы является то, что ее можно использовать как в режиме обучения, так и в автоматическом режиме. Режим обучения (пошаговый режим выполнения вычислений) чрезвычайно полезен, поскольку в этом режиме можно разобраться в работе самого алгоритма. При этом не нужно вручную выполнять огромное количество утомительных вычислений, которые лежат в основе большинства алгоритмов исследования операций.

TORA является самодостаточной системой, в том смысле, что все инструкции и пояснения, необходимые для работы с этой программой, заключены в названиях пунктов меню, командных кнопок, опций и других элементов управления. TORA не имеет руководства пользователя, поэтому в этом приложении будут кратко описаны основные средства данной системы оптимизации.

Система TORA может работать только с разрешением экрана 800x600 или 1024x768 пикселей. Желательно, чтобы было установлено разрешение 1024x768 пикселей, поскольку в этом случае размещение элементов управления будет более удобным и пропорциональным.

Б.1. ГЛАВНОЕ МЕНЮ

На рис. Б.1 показано Main Menu (главное меню) программы. После выбора какого-либо элемента из этого меню появится новое окно, в котором нужно будет выбрать режим ввода исходных данных решаемой задачи.

Linear Equations ► Linear Programming Transportation model Integer programming Network models ► Project Planning ► Queuing analysis Zero-5um Games

EXIT TORA

Рис.Б.1. Главное меню системы TORA

Рис. Б.2. Окно задания режима ввода данных

1. Можно выбрать, следует ли ввести новый набор данных для решаемой задачи (выбрано по умолчанию) или загрузить данные из файла, ранее созданного в программе TORA.

2. Можно определить формат чисел (десятичный или экспоненциальный), а также установить точность вводимых данных.

Код десятичного формата (установлен по умолчанию) выглядит как NNNNN.DD, тогда как код экспоненциального формата выглядит как N.NNNNNeDD. По умолчанию установлено пять разрядов для целой части числа (код N) и два разряда для дробной части числа (код D). Количество разрядов можно изменить на любое другое (разумное) число.

Б.З. ОКНО ВВОДА ДАННЫХ

В левой верхней части окна ввода данных (рис. Б.З) вводятся параметры решаемой задачи. В зависимости от значений введенных параметров может измениться таблица ввода данных, расположенная в средней части экрана. Также вид таблицы ввода данных зависит от выбранной в главном меню модели (например, вид таблицы для задачи линейного программирования отличается от вида таблицы для транспортной модели). Изменить таблицу ввода данных можно такими же способами, какими настраивается внешний вид рабочего листа электронных таблиц.

Можно вставлять и удалять столбцы или строки, а также копировать и вставлять их содержимое. Для этого сначала щелкните на заголовке требуемого столбца или строки. Затем из меню EditGrid (Редактировать таблицу) выберите нужную команду. Все команды меню можно выполнить с помощью комбинаций

Б.2. РЕЖИМ ВВОДА ДАННЫХ И ФОРМАТЫ ЧИСЕЛ

В окне задания режима ввода данных (рис. Б. 2) определяются два параметра ввода.