1.5. Больше, чем просто математика

1. Классическим примером является известная проблема лифта. Жильцы высотного дома постоянно жаловались на длительное ожидание лифта. На основе модели массового обслуживания это время было оптимизировано. Но предложенное решение не уменьшило поток жалоб. Дальнейшее изучение ситуации показало, что жильцам просто скучно ждать лифт. Проблема была решена, когда в холле возле лифтов повесили большие зеркала. Жалобы на длительное ожидание лифта прекратились: теперь жильцы коротают время возле лифтов, разглядывая себя и других в зеркале, что, согласитесь, почти не надоедает.

2. Группа американских и канадских специалистов ИО изучала возможность увеличить пропускную способность регистрационных стоек большого британского аэропорта. По одной из рекомендаций, выработанных этой группой, в видных местах вывесили таблички с указанием, что пассажиры, у которых осталось менее 20 минут до вылета, должны без очереди подойти к регистрационной стойке. Однако эта мера не имела успеха, поскольку пассажиры, особенно британцы, настолько уважают живую очередь, что не могли позволить себе подобную вольность.

3. В сталелитейном производстве первым продуктом, получаемым из железной руды, являются стальные слитки, из которых затем производят различные сталепрокатные изделия. Управляющий производством заметил слишком большую задержку между получением и непосредственным их прокатом на прокатных станах. В идеале прокатка слитков должна начинаться сразу после получения их из печи, чтобы уменьшить потребность повторного нагрева слитков. Первоначально эта проблема группой экспертов ИО была представлена в виде линейной модели, оптимизирующей баланс между производительностью литейной печи и пропускной способностью прокатного стана. В процессе исследования ситуации эксперты строили простые графики производительности плавильной печи, суммируя производство стальных слитков в течение ее трехсменной работы. Они обнаружили, что, хотя третья смена начинается в 23 часа, наибольшая производительность достигается только между 2 и 5 часами утра. Дальнейшие наблюдения показали, что операторы печи, работающие в третью смену, имели привычку в начале смены устроить себе довольно длительный период раскачки , наверстывая этот простой в утренние часы. Таким образом, данная проблема решалась простым выравниванием производства слитков в течение всех рабочих смен, для чего пришлось поработать с человеческим фактором.

На основе трех приведенных примеров можно сделать такие заключения.

1. Прежде чем приступать к построению математических моделей, команда экспертов ИО должна рассмотреть возможность разрешения проблемы путем применения какого-либо человеческого , а не технического решения. В основе решения проблемы лифта путем установки зеркал лежат свойства человеческого поведения, а не математическое моделирование. Отметим, что и стоимость такого решения значительно ниже, чем стоимость решения, полученного на основе математического моделирования. В связи с этим команды экспертов ИО обычно в качестве первого этапа исследования реальной проблемы проводят экспертизу ситуации путем привлечения специалистов, не связанных с математикой (при решении проблемы лифта такими специалистами были психологи). Это было выявлено еще во время Второй мировой войны британскими учеными, пионерами в области ИО, - в команду разработчиков ИО входили специалисты по социологии, психологии и поведенческим наукам.

2. Решения, как правило, реализуются через людей, а не через бездушные технологии. Любое решение, которое не учитывает человеческого поведения, обречено на провал. Причиной невыполнения рекомендаций команды консультантов британского аэропорта стало неучтенное этой командой культурное различие между Соединенными Штатами и Великобританией (американцы и канадцы более свободны в поведении, чем британцы).

3. Анализ ИО никогда не начинается сразу с поиска решения построенной математической модели - сначала надо доказать обоснованность ее применения. Например, поскольку методы линейного программирования хорошо зарекомендовали себя на практике, существует тенденция использовать линейные модели в любых ситуациях. Это приводит к тому, что такие модели плохо соответствуют реальной проблеме. Сначала всегда следует проанализировать имеющиеся данные, используя для этого по возможности простые технологии (например, вычисляя средние, строя диаграммы и графики и т.п.). Когда проблема исследована и определена, для ее решения подбираются соответствующие методы.2 В примере со сталелитейным производством простые временные графики производства стальных слитков стали тем единственным средством, которое помогло исправить ситуацию.

1.6. МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Решения реальных задач исследования операций должны быть плодом коллективной работы, когда заказчики исследований и аналитики работают бок о бок. Аналитикам ИО с их знаниями возможностей математического моделирования необходимы опыт и знание реальной ситуации, исходящие от клиента, для которого, собственно, и решается задача ИО.

Исследование операций как инструмент задачи принятия решения можно рассматривать и как науку, и как искусство. Наука здесь представлена всей мощью математических методов, а искусство - тем обстоятельством, что успех на всех этапах, предшествующих получению оптимального решения математической модели, в большей степени зависит от творчества и опыта всей команды, занимающейся решением задачи ИО. Уиллимейн (Willemain, [8]) утверждает, что эффективная практика [ИО] требует нечто больше, чем только знания и компетентность. Она также требует, среди прочего, технической мудрости (т.е. понимания того, когда и как применять тот или иной метод или алгоритм) и определенного уровня коммуникабельности и организационных способностей .

Из-за неуловимого человеческого фактора трудно дать точные предписания для реализации теории исследования операций на практике. Можно попытаться показать только общую направленность такой реализации.

На практике реализация методов ИО должна включать следующие этапы.

1. Формализация исходной проблемы.

2. Построение математической модели.

Использовать специальные математические модели до обоснования их применимости - все равно, что ставить телегу впереди лошади. Это напоминает мне историю об одном пассажире самолета, который панически боялся бомб на борту самолета, которые могли подложить террористы. Он вычислил вероятность такого события. Эта вероятность оказалась сравнительно небольшой, но достаточной, чтобы вызвать его беспокойство. Исходя из этого, он всегда проносил бомбу на самолет в своем портфеле, поскольку, по его расчетам, вероятность того, что на самолете окажется две бомбы, практически равна нулю!

1.6. Методология исследования операций

3. Решение модели.

4. Проверка адекватности модели.

5. Реализация решения.

Из всех пяти приведенных этапов только третий, решение модели, достаточно точно определен и наиболее прост для реализации в рамках методологии ИО, поскольку действия на этом этапе основываются на точной математической теории. Выполнение остальных этапов в значительной мере является искусством, а не наукой. Поэтому мы не можем точно описать эти процедуры.

Формализация проблемы требует исследования той предметной области, где возникла рассматриваемая проблема. Это начальный этап работы любой команды аналитиков ИО. В результате такого исследования должны быть получены следующие три принципиальных элемента решаемой задачи: 1) описание возможных альтернативных решений, 2) определение целевой функции, 3) построение системы ограничений, налагаемых на возможные решения.

Построение математической модели означает перевод формализованной задачи, описание которой получено на предыдущем этапе, на четкий язык математических отношений. Если получена одна из стандартных математических моделей, например, модель линейного программирования, то решение обычно достигается путем использования существующих алгоритмов. Если же результирующая модель очень сложная и не приводится к какому-либо стандартному типу моделей, то команда ИО может либо упростить ее, либо применить эвристический подход, либо использовать имитационное моделирование. В некоторых случаях комбинация математической, имитационной и эвристической моделей может привести к решению исходной проблемы.

Решение модели, как уже упоминалось, - наиболее простой из всех этапов реализации методов исследования операций, так как здесь используются известные алгоритмы оптимизации. Важным аспектом этого этапа является анализ чувствительности полученного решения. Это подразумевает получение дополнительной информации о поведении оптимального решения при изменении некоторых параметров модели. Анализ чувствительности особенно необходим, когда невозможно точно оценить параметры модели. В этом случае важно изучить поведение оптимального решения в окрестности первоначальных оценок параметров модели.

Проверка адекватности модели предполагает проверку ее правильности, т.е. определения того, соответствует ли поведение модели в конкретных ситуациях поведению исходной реальной системы. Но сначала команда аналитиков ИО должна удостовериться, что модель не содержит сюрпризов . Другими словами, надо убедиться, что решение, полученное в рамках построенной модели, имеет смысл и интуитивно приемлемо. Формальным общепринятым методом проверки адекватности модели является сравнение полученного решения (поведение модели) с известными ранее решениями или поведением реальной системы. Модель считается адекватной, если при определенных начальных условиях ее поведение совпадает с поведением исходной системы при тех же начальных условиях. Конечно, это не гарантирует, что при других начальных условиях поведение модели будет совпадать с поведением реальной системы. В некоторых случаях в силу разных причин невозможно прямое сравнение модели с реальной системой или сравнение решений, полученных в рамках этой модели, с известными решениями (например, из-за отсутствия таких данных). В такой ситуации для проверки адекватности ма-