Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

2 5 z=-x,-s. +20.

3 6

Из последнего уравнения следует, что увеличение значения переменной х2 (ее текущее значение равно нулю) приведет к увеличению значения целевой функции. Таким образом, переменная х2 должна стать вводимой в базис.

Далее определим исключаемую переменную. Для этого вычислим отношения правых частей равенств, соответствующих ограничениям, к коэффициентам, стоящим прих, в этих равенствах.

Базис

Коэффициенты при х2

Решение

Отношение

= 4/(2/3) = 6

= 2/(4/3) = 3/2 (минимум)

= 5/(5/3) = 3

= 2/1=2

Вычисления показывают, что минимальное (неотрицательное) отношение соответствует переменной s2, которая становится исключаемой; при этом значение отношения (= 3/2) равно новому значению переменной х2. Соответствующее увеличение

2 3

значения целевой функции составит -х - = 1 hz = 20 + 1 = 21.

В этой ситуации ведущей строкой будет -строка, а ведущим столбцом - столбец, соответствующий переменной х2. Ведущий элемент равен 4/3.

Вычисляем элементы новой симплекс-таблицы.

1. Новая ведущая ,у2-строка = текущая .-строка / - .

2. Новая строка z-строка = текущая z-строка - (- - ) х новая ведущая строка.

3. Новая лустрока = текущая л-строка - -j х новая ведущая строка.

4. Новая .-строка = текущая .-строка - - х новая ведущая строка.

5. Новая -строка = текущая -строка - 1 х новая ведущая строка. Эти вычисления приводят к следующей таблице.

Базис

Решение

-1/2

-1/8

-5/4

-3/4

Поскольку z-строка не имеет отрицательных коэффициентов, соответствующих небазисным переменным sx и s2, полученное решение оптимально.



Оптимальное решение задачи ЛП можно считать из симплекс-таблицы следующим образом. Неотрицательные (базисные) переменные представлены в столбце Базис , а их значения- в столбце Решение . В данном примере имеем следующее.

Переменные задачи

Оптимальные значения

Интерпретация

Ежедневно следует производить 3 т краски для наружных работ

Ежедневно следует производить 1,5 т краски для внутренних работ

Ежедневный доход составляет 21 тыс. долл.

Вы можете s3 = 5/2 hs4 =

проверить, что значения дополнительных переменных 5, = s2 = 0, 1/2 согласуются со значениями переменных и х2.

С помощью симплекс-таблицы можно получить много дополнительной информации (кроме непосредственно оптимального решения).

1. Состояние ресурсов.

2. Цена единицы ресурсов (двойственные цены).

3. Все данные, необходимые для проведения анализа чувствительности оптимального решения.

Здесь мы покажем, как определить состояние (статус) ресурсов. Вычисление двойственных цен и использование данных симплекс-таблицы для проведения анализа чувствительности описано в главе 4.

Статус ресурса определяется как дефицитный или недефицитный, в зависимости от того, будет он использован полностью или нет. Эту информацию можно получить из результирующей симплекс-таблицы путем проверки значений дополнительных (остаточных) переменных, ассоциируемых с соответствующими ограничениями, налагаемыми на ресурсы. Если дополнительная переменная равно нулю, значит, ресурс использован полностью, и он получает статус дефицитного. Положительное значение дополнительной переменной указывает на недефицитность соответствующего ресурса.

В задаче о компании Reddy Mikks четыре ограничения классифицируются следующим образом.

Ресурс

Остаточная переменная

Статус

Сырье М1

Si =0

Дефицитный

Сырье М2

s2 = 0

Дефицитный

Ограничение на спрос 1

S3 = 2,5

Недефицитный

Ограничение на спрос 2

Si = 0,5

Недефицитный

Статус ресурсов показывает, что, поскольку Ml и М2 дефицитны, их увеличение может привести к улучшению оптимального решения (т.е. увеличению значения целевой функции). Процедура анализа чувствительности поможет определить, на сколько можно увеличить объемы ресурсов. Этот вопрос исследовался в разделах 2.3.2 и 2.3.3, полное его решение представлено в главе 4.



В примере 3.3.1 велся поиск максимума целевой функции. В случае минимизации целевой функции исключаемые переменные определяются точно так же, как и при ее максимизации. Поскольку задача минимизации сводится к задаче максимизации простым соотношением max z = - min(-z), то в случае минимизации целевой функции вводимая переменная выбирается как небазисная с наибольшим положительным коэффициентом в z-строке симплекс-таблицы, а минимум целевой функции будет достигнут тогда, когда все коэффициенты в z-строке будут неположительными.

Два правила выбора вводимых и исключающих переменных в симплекс-методе назовем условием оптимальности и условием допустимости. Сформулируем эти правила, а также рассмотрим последовательность действий, выполняемых при реализации симплекс-метода.

Условие оптимальности. Вводимой переменной в задаче максимизации (минимизации) является небазисная переменная, имеющая наибольший отрицательный (положительный) коэффициент в z-строке. Если в z-строке есть несколько таких коэффициентов, то выбор вводимой переменной делается произвольно. Оптимальное решение достигнуто тогда, когда в z-строке все коэффициенты при небазисных переменных будут неотрицательными (неположительными).

Условие допустимости. Как в задаче максимизации, так и в задаче минимизации в качестве исключаемой выбирается базисная переменная, для которой положительное отношение значения правой части ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца минимально. Если базисных переменных с таким свойством несколько, то выбор исключаемой переменной выполняется произвольно.

Теперь приведем последовательность действий, выполняемых в симплекс-методе.

Этап 0. Находится начальное допустимое базисное решение.

Этап 1. На основе условия оптимальности определяется вводимая переменная. Если вводимых переменных нет, вычисления заканчиваются.

Этап 2. На основе условия допустимости выбирается исключаемая переменная.

Этап 3. Методом Гаусса-Жордана вычисляется новое базисное решение. Переход к п. 1.

УПРАЖНЕНИЯ 3.3.2

1. Это упражнение должно показать значимую роль условия допустимости в симплекс-методе. В примере 3.3.1 в первой симплекс-таблице мы использовали минимальное неотрицательное значение из множества вычисленных отношений для определения исключаемой переменной. Такой выбор исключаемой переменной гарантирует, что новое значение базисной переменной не будет отрицательным. Для иллюстрации этого утверждения на первом шаге вместо переменной s, исключите из базисного решения переменную s2. Далее посмотрите на результирующую симплекс-таблицу, вы должны увидеть, что переменная s, приняла отрицательное значение (= -12). Это показывает, что полученное решение недопустимо.

2. Рассмотрим следующее множество ограничений.

x, + 2a;2-2a;3 + 4a;4<40, 2хх - х2 + х3 + 2xt < 8, 4jc, - 2х2 + х3 - xt < 10, дг х2, х3, х4 - 0.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292