Максимизировать z = 2х, + Ъх2

при ограничениях

Зх, + 2х2>6, 2х, + х2<2, х х2>0.

3.4.2. Двухэтапный метод

Двухэтапный метод лишен недостатков, которые присущи М-методу вследствие ошибок округления. Как следует из названия этого метода, процесс решения задачи ЛП разбивается на два этапа. На первом этапе ведется поиск начального допустимого базисного решения. Если такое решение найдено, то на втором этапе решается исходная задача.

Этап 1. Задача ЛП записывается в стандартной форме, а в ограничения добавляются необходимые искусственные переменные (как и в М-методе) для получения начального базисного решения. Решается задача ЛП минимизации суммы искусственных переменных с исходными ограничениями. Если минимальное значение этой новой целевой функции больше нуля, значит, исходная задача не имеет допустимого решения, и процесс вычислений заканчивается. (Напомним, что положительные значения искусственных переменных указывают на то, что исходная система ограничений несовместна.) Если новая целевая функция равна нулю, переходим ко второму этапу.

Этап 2. Оптимальное базисное решение, полученное на первом этапе, используется как начальное допустимое базисное решение исходной задачи.

Пример 3.4.2

К задаче из примера 3.4.1 применим двухэтапный метод. Этап 1

Минимизировать г = Л, + R2

при ограничениях

Зл-1+л-2 + Л1 = 3, 4л-, + 3x2 -х3 + R2 = 6, л-, + 2хг +xt - 4, xi Х2у д-g, л*4, Л R2, - 0. Соответствующая таблица имеет следующий вид.

Как и в А/-методе, сначала вычисляется новая r-строка по формуле новая r-строка = старая r-строка + 1 х /?,-строка + 1 х Л2-строка

Новая r-строка используется для решения задачи первого этапа, что приведет к следующему оптимальному решению (проверьте с помощью программы TORA, выполнив команду Iterations Two-phase Method).

Поскольку достигнут минимум г = О, значит, на первом этапе получено допустимое базисное решение х, = 3/5, хг = 6/5 и jr4 = 1. Искусственные переменные полностью выполнили свою миссию , поэтому из последней таблицы можно удалить их столбцы. Переходим ко второму этапу.

Этап 2

После удаления искусственных переменных исходная задача будет записана следующим образом.

Минимизировать г = 4л, + хг

с ограничениями

х, Н- х = - , 5 3 5

3 = 6 x3+xt = 1,

1* *2* 3 4 - *

Обратите внимание на то, что после первого этапа исходная задача претерпела некоторые изменения, которые учитывают полученное базисное решение. Этой трансформированной задаче соответствует следующая таблица.

Поскольку базисные переменные хх и х2 имеют ненулевые коэффициенты в z-строке, эту строку следует преобразовать.

Новая z-строка = старая z-строка + 4 х х,-строка + 1 х х,-строка. Начальная таблица второго этапа примет следующий вид.

Удаление искусственных переменных в конце первого этапа имеет смысл только тогда, когда все они являются небазисными (как в примере 3.4.2). Однако возможна ситуация, когда в конце первого этапа искусственные переменные останутся в базисе, но будут иметь нулевые значения. В этом случае такие переменные при необходимости будут формировать часть начального базисного решения для второго этапа. При этом необходимо так изменить вычисления, выполняемые на втором этапе, чтобы искусственные переменные никогда не смогли принять положительные значения ни в каких итерациях симплекс-метода.

Существует простое правило, которое гарантирует, что нулевая базисная искусственная переменная на втором этапе никогда не станет положительной.

1. Если в ведущем столбце коэффициент, соответствующий нулевой базисной искусственной переменной, положителен, тогда ведущий элемент определяется автоматически (поскольку ему соответствует минимальное отношение, равное нулю), и искусственная переменная на следующей итерации становится небазисной.

2. Если ведущий элемент равен нулю, следующая итерация оставляет искусственную переменную нулевой.

3. Если ведущий элемент отрицательный, то минимальное отношение не ассоциируется с базисной (нулевой) искусственной переменной. В этом случае, если минимальное отношение будет положительным, то на следующей итерации искусственная переменная примет положительное значение (обоснуйте это утверждение). Чтобы исключить эту возможность, мы принуждаем искусственную переменную всегда оставаться в базисном решении. Поскольку искусственная переменная равна нулю, ее удаление из базисного решения не влияет на то, будет ли допустимым решение из оставшихся в базисе переменных.

Итак, правило для второго этапа заключается в том, чтобы искусственные переменные оставлять в базисе всегда, когда коэффициент в ведущем столбце положителен или отрицателен. Фактически это правило применяется в конце первого этапа, когда из базисного решения удаляются нулевые искусственные переменные, перед тем как приступить ко второму этапу (см. упражнение 3.4.2.5).

УПРАЖНЕНИЯ 3.4.2

1. Ответьте на следующие вопросы.

a) Почему на первом этапе двухэтапного метода всегда минимизируется сумма искусственных переменных?

b) Если в задаче ЛП требуется найти максимум целевой функции, то следует ли на первом этапе максимизировать сумму искусственных переменных?